1r ciclo Ejercicio de función implícita

[SCHRODINGER27]

Hola buenas, me han planteado este problema y la verdad, no sé muy bien cómo empezar. Agradecería un poco de ayuda. Muchísimas gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Ejercicio de función implícita

Hola SCHRODINGER27
Para ver que estas dos ecuaciones permiten definir $z=z(x,y)$ y $u=u(x,y)$ en el entorno de $P_0=(x_0, y_0, z_0, u_0) = (1, 1, 0, 0)$:

Hay que comprobar que las funciones

$F_1 = x.e^z + ye^u - 2$

$F_2 = log (1+z) - sen u + 2x - y -1$

cumplen las condiciones del teorema de la función implícita:

a) Han de ser funciones continuas y tener todas sus derivadas continuas en $P_0$;
b) Se ha de cumplir que $F_1(1,1,0,0)=0$ y $F_2(1,1,0,0)=0$
c) El Jacobiano de $F_1$ y $F_2$ res pecto de $z$ y $u$ en $P_0=(1,1,0,0)$ ha de ser distinto de .

Para calcular las derivadas parciales $\dst \frac{\partial z(x,y)}{\partial x}$ y $\dst \frac{\partial u(x,y) }{\partial x}$
Se derivan las ecuaciones $\dst F_1(x,y, z(x,y), u(x,y))=0$ y $\dst F_2(x,y,z(x,y), u(x,y))=0$ respecto a $x$ obteniéndose un sistema del que se pueden despejar $\dst \frac{\partial z}{\partial x}$ y $\dst \frac{\partial u}{\partial x}$

Para calcular las derivadas parciales $\dst \frac{\partial z(x,y)}{\partial y}$ y $\dst \frac{\partial u(x,y) }{\partial y}$, se procede igual que en el caso anterior:
Se derivan $F_1$ y $F_2$ respecto a $y$ obteniéndose un sistema del que se pueden despejar $\dst \frac{\partial z}{\partial y }$ y $\dst \frac{\partial u}{\partial y}$

saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Ejercicio de función implícita

Muchísimas gracias por la respuesta y la rapidez, voy a intentarlo y comunico resultados.

[SCHRODINGER27]

Re: Ejercicio de función implícita

Buenas, cuando voy a hacer el jacobiano, tengo
$<br /> \begin{pmatrix} x{e}^{z } & y{e}^{u } \\ \frac{1}{ 1+z} & -cos(u) \end{pmatrix}<br />$

haces el determinante en (1,1,0,0) y da 0, luego, NO se cumple, luego no se puede definir las ecuaciones de dicha forma, ¿no?

Gracias

[oscarmuinhos]

Re: Ejercicio de función implícita

Hola
Si fuese cero, no se cumplirían las condiciones del teorema y no podría asegurarse que z=z(x,y) y u=u(x,y) en un entorno de (1,1,0,0). Pero el determinante de esta matriz en (1,1,0,0) da $-2 \neq 0$ ¿No es?

[SCHRODINGER27]

Re: Ejercicio de función implícita

Perdón, me comí un signo, el del -cos(u). Siento las molestias, muchísimas gracias.