Secundaria Notación de Leibniz y concepto de diferencial.

[RelikedH]

No entiendo la notación de Leibniz a la hora de expresar derivadas. Entiendo que [FONT=Courier][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT] es la ''derivada de f respecto de x'' pero no entiendo el por qué de la representación como cociente de diferenciales, básicamente porque no entiendo el concepto de diferencial. Vuestra ayuda se agradecería mucho.

[Weip]

Re: Notación de Leibniz y concepto de diferencial.

Porque Leibniz lo quiso así, solo es notación. Es cierto que los diferenciales de la derivada se pueden manipular como si de un cociente se tratase, pero la demostración de eso es compleja y se enseña en la universidad. En física se suele decir que los diferenciales son infinitesimales, pero esa afirmación da para mucha discusión. Yo te recomiendo quedarte con la idea de que en física los diferenciales son infinitesimales, pero en matemáticas el tema es mucho más complicado de lo que parece. Esto es lo que me dijeron a mí un matemático y un físico, porque la verdad es que hay mucha confusión acerca del tema.

Te recomiendo que uses la opción de búsqueda del foro ya que este tema se ha tratado numerosas veces y de forma extensa.

Espero haberte ayudado.

[visitante20160513]

Re: Notación de Leibniz y concepto de diferencial.

El problema se plantea porque la visión que tienen los físicos (y otros como los ingenieros, etc.) de los diferenciales es distinta de la que tienen los matemáticos, pero si solo fuera ese el problema la cosa no sería grave, lo grave es que ese diferente punto de vista provoca que el uso que hacen los primeros de los elementos diferenciales esté vilipendiado por los segundos que consideran que la forma que tienen aquellos de manipular los elementos diferenciales (a la hora de trabajar con ecuaciones diferenciales) es incorrecta, opinión que no es compartida en absoluto por mi (me posiciono ya de entrada para no sorprender a nadie). De hecho los matemáticos no reconocen como ortodoxa la definición que usan los primeros de los elementos diferenciales, es decir cuando le hablas a un matemático de un elemento diferencial siempre recibes la misma respuesta ¿y eso qué es? porque lisa y llanamente los elementos diferenciales no son objetos matemáticos ortodoxos. Los matemáticos manejan un concepto distinto, que es el concepto de forma diferencial, y que los físicos e ingenieros en general no estudian ni conocen, salvo en niveles muy avanzados de estudios teóricos.

Para un matemático la forma de la derivada como un cociente de diferenciales no es más que una notación y lo mismo ocurre con la notación integral, pero para un físico esa notación que representa la derivada como un cociente es realmente un cociente de números reales y lo manipulan como tal cosa y análogamente con las integrales. Lo curioso es que aún a pesar de que dicha manipulación sea matemáticamente incorrecta conduce siempre a resultados correctos y es ahí donde empiezan los debates, las polémicas, y las discusiones tan frecuentes sobre estos temas.

Te daré mi opinión, para mi esas manipulaciones son absolutamente correctas, y pueden justificarse dentro de la más absoluta ortodoxia matemática, pero resulta que este es un tema tan debatido (los primeros debates sobre el particular ya se produjeron en tiempos de Newton y Leibniz) que las posiciones se han vuelto demasiado rígidas, y cada vez que alguien trata de analizar lógicamente el problema y con un punto de vista abierto rápidamente resulta vilipendiado por alguna de las partes en conflicto o incluso por las dos. Nadie esta dispuesto a hacer concesiones al respecto de este asunto y como también la confusión es muy grande y demasiado generalizada, el resultado es que el debate lleva ya 500 años y sigue sin resolverse, cuando realmente es un problema relativamente sencillo de resolver.

Salu2

[guillegran]

Re: Notación de Leibniz y concepto de diferencial.

Sea $f:(a,b)\to\Re$ y un punto $t_0 \in (a,b)$ si f es derivable en $t_0$, la "diferencial de f en $t_0$" es:
$R(t)=f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0), t \in \Re$

Observaciones:
i) $R(t_0)=f(t_0)$
ii) $\lim_{t \to t_0}\frac{f(t)-R(t)}{ t-t_0}=0$
iii) R(t) es el único polinomio de grado 1 tal que:
$\lim_{t \to t_0}\frac{f(t)-p(t)}{ t-t_0}=0$ y $p(t_0)=f(t_0)$

Por tanto, con $t\approx t_0$: llamando $dt=(t-t_0)$ y $df(t)=f(t)-f(t_0)$. Como $f(t)\approx R(t)$,
$df(t)\approx f'(t_0)dt$

[Umbopa]

Re: Notación de Leibniz y concepto de diferencial.

El cálculo, las ecuaciones diferenciales, etc.
Fueron creados para explicar fenómenos físicos, no hay diferencia entre matemáticos y físicos en este aspecto...
De hecho más de un físico hace su Phd en matemáticas, y más de un matemático hace el suyo en física.

Por ejemplo, hablar de la ecuación de ondas, la ecuación de difusión y la ecuación de Laplace, no tiene sentido sin hablar de física es evidente.

[visitante20160513]

Re: Notación de Leibniz y concepto de diferencial.

El concepto de diferencial se resume facilmente en la siguiente forma. Si $p$ es un punto genérico de una variedad diferenciable y $p_o$ es un punto dado de dicha variedad entonces $p_o+dp$ es un punto de su espacio tangente en $p_o$.

Todas las propiedades del concepto ortodoxo de diferencial están incluidas en esa afirmación y se ajustan exactamente a su definición matemática. Lo que da una idea bastante clara de lo que es el concepto matemático de diferencial. Ocurre que esa definición se ajusta también al concepto que tenemos los físicos e ingenieros de diferencial, aunque eso necesitaría ser demostrado para zanjar definitivamente el debate.

NOTA: Por supuesto que se entiende aquí que si $p$ viene dado por sus componentes $(x,\ y,\ z,\ ...)$ entonces $dp$ vendrá dado por las suyas $(dx,\ dy,\ dz,\ ...)$ etc.

Salu2

[RelikedH]

Re: Notación de Leibniz y concepto de diferencial.

¡Muchísimas gracias!