1r ciclo Diferenciabilidad

[Turing]

Hola chicos,

tengo apuntado en la libreta (de hace tiempo) que la función $\dst f(x,y)= \cos (\sqrt{x^2+y^2})$ es diferenciable en (0,0). No obstante, he comprobado que la función $\dst \sqrt{x^2+y^2}$ no lo es. Entonces, tengo la duda de no saber si lo he copiado mal... O sino es así por qué la composición de una función no diferenciable con una que si que lo es da como resultado una función sí diferenciable.

PD: Esto último que acabo decir no tiene ningún sentido creo yo.

A ver si podéis sacarme del meollo.

[pod]

Re: Diferenciabilidad

No creo que puedas sacar la conclusión de que la composición siempre es diferenciable, como mucho puedes decir que en algún caso lo es. Por ejemplo (sin haberlo comprobado), tiene toda la pinta de que $g(x,y) = \sin\sqrt{x^2+y^2}$ no es diferenciable en el origen. El hecho de que una de las funciones compuestas no sea diferenciable no es condición suficiente para que la composición no lo sea; tienes que comprobarlo caso por caso.

[hoja en blanco]

Re: Diferenciabilidad

Hola Turing,
Solo quería confirmarte que la función no es diferenciable en el origen, por el simple hecho que no existen sus derivadas parciales en ese punto.
Ten en cuenta también que la composición de dos (o más) diferenciables da una diferenciable, pero el hecho que una función compuesta sea diferenciable, no significa que cada una de sus funciones componentes lo sea (esto es lo que ya ha dicho pod). Por el contrarecíproco, funciones no diferenciables pueden componerse para dar una función diferenciable.
Saludos

[Turing]

Re: Diferenciabilidad

Vuelvo a tener otra duda básica (lo siento, mis enseñanzas en este tema han sido pobres...),

¿por qué si una derivada direccional no coincide con el vector que toma la derivada como dirección por el gradiente de la función, podemos decir que una función es no diferenciable?

$\dst (D_{\hat{u}}f)_{P_o} \neq \hat{u} \nabla f _{P_o}$ -> no diferenciable en el punto.

Gracias,

[hoja en blanco]

Re: Diferenciabilidad

Hola Turing,
Ésto es porque si f es diferenciable, entonces existen todas las derivadas direccionales. Aún más, estas vienen dadas por $Df(P_0)\vec{u}=\nabla f(P_0)\cdot\vec{u}$.
La demostración de este hecho pasa por considerar una función $c(t)=\vec{P_0}+t\vec{u}$, aplicar la regla de cadena a $\frac{d}{dt}f(c(t))$ y luego evaluar en $t=0$.
Por el contrarrecíproco tienes la respuesta a tu pregunta.
Saludos

[Turing]

Re: Diferenciabilidad

A ver si lo he entendido... Según lo que estás diciendo, ¿si una función es diferenciable significa que el diferencial de la función coincide con la direccional (evaluado todo en el punto)?.

Veamos si puedo demostrarlo (dejo una imagen),

¿Es esto cierto?

Un saludo y gracias.

[visitante20160513]

Re: Diferenciabilidad

Todas estas cosa pasan por no tener primero un concepto intuitivo (geométrico) de lo que en esencia es el diferencial de una función. Si nos limitamos a las definiciones matemáticas ortodoxas ocurre habitualmente esto.

1ª).- Debes entender que una función es diferenciable si existe su espacio tangente (recta tangente o plano tangente para funciones de una y dos variables respectivamente). Para variedades de tres variables no es posible establecer una imagen geométrica, aunque viéndolo para variedades de una y dos variables se entiende el concepto facilmente.

Y si una función de dos variables es diferenciable las derivadas direccionales coinciden con las pendientes respectivas de las tangentes a la superficie, que evidentemente son todas a su vez tangentes a (están contenidas en) su plano tangente.

Salu2.

[hoja en blanco]

Re: Diferenciabilidad

En efecto. Yo uso una notación un poco diferente, pero adaptaré la demostración que sé a la tuya. Espero no liarla.
Sea $D\subset\mathbb{R}^n$ un abierto y $f:D\rightarrow\mathbb{R}^m$ una función. Si f es diferenciable en $\vec{P_0}$, entonces $\exists D_{\vec{v}}f(\vec{P_0})\quad\forall\vec{v}\in\mathbb{R}^n$ (que puedo suponer de norma 1) y además, $D_{\vec{v}}f(\vec{P_0})=df_{\vec{P_0}}(\vec{v})$. En particular, para m=1: $D_{\vec{v}}f(\vec{P_0})=\nabla f(\vec{P_0})\cdot\vec{v}$ (que es lo que yo decía antes porque lo hacía para funciones escalares)
Considero $c:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$ dada por $c(t)=\vec{P_0}+t\vec{v}$. Entonces,
$D_{\vec{v}}f_i(\vec{P_0})=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_i(\vec{P_0}+h\vec{v})-f_i(\vec{P_0})}{h}=\frac{d}{dt}(f_i\circ c)(0)=f_i'(c(0))\cdot c'(0)=f_i'(\vec{P_0})\cdot\vec{v}$
Juntando componentes i=1,...m tienes el resultado.

[Turing]

Re: Diferenciabilidad

Muchas gracias por tomarte las molestias de comprobarlo hoja en blanco.

Y Jabato, la verdad es que no me lo habían explicado así y se agradece pues así al menos sé que estoy manipulando. Gracias a ti también.