Divulgación Problema de aplicacion del calculo integral al calculo de Centro de masas de un objeto

[inakigarber]

Buenas noches.
Planteo el siguiente problema sobre el calculo de la masa de un objeto. Aunque en realidad el problema es para calcular el centro de masas, me conformo con resolver la primera parte del problema. Si bien es un problema de física, creo oportuno colocarlo en este subforo. Ahí va.

Partimos de

$$r=Rcos(2\rho)$$

y de

$$dm=\sigma dr d{\rho}$$

de (1) deduzco

$$dr=-2Rsen(2\rho)d{\rho}$$

sustituyo en 2

$$dm=-2R\sigma sen(2\rho)d{\rho}$$

En la doble integral definida

$$=-2R^2(2\rho)\int_{0}^{Rcos(2\rho)}sen(2\rho)d{\rho}$$

Resolviendo esta integral y definiéndola me sale lo siguiente.
[TEX=6]=R^2\sigma(1-cos[(2\rho))/TEX]
Resolviendo en la primera integral, me sale una masa de;

$$=MR^2\sigma[cos(\frac{\pi}{2})-]cos(\frac{-\pi}{2})$$

Lo cual no me cuadra con el resultado que da el libro

$$\frac{\pi R^2\sigma}{8}$$

Me gustaría saber como debo de actuar para resolver este tipo de problemas. En este momento no puedo detallar mas los pasos que he dado por falta de tiempo. Mañana espero disponer de mas tiempo para detallar mis pasos y poder saber donde meto la pata.

Un saludo y gracias.

[Al2000]

Re: Problema de aplicacion del calculo integral al calculo de Centro de masas de un objeto

¿Puedo suponer que donde pones $\rho$ (rho) te estás refiriendo a $\varphi$ (variante de phi)?

Tu ecuación (2) no es correcta, no es dimensionalmente consistente. Debería ser la misma ecuación (1.22) del enunciado.

Tu ecuación (3), con la salvedad del $\rho$ que quiere ser $\varphi$, aunque es cierta no te sirve para la integral. Ese $dr$ que estás obteniendo no es el mismo $dr$ que aparece en la integral (o en la ecuación (2)). El $dr$ de la ecuación (2) (o la integral) es uno de los lados del "cuadrito" genérico representativo del diferencial de área y que puede ser un "cuadrito" cualquiera dentro del área encerrada por la curva. Por otra parte, el $dr$ que calculas en la ecuación (3) representa cómo varía $r$ cuando te mueves un cierto ángulo a lo largo de la curva que delimita el área y vendría a ser uno de los lados del diferencial de longitud de la curva.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[inakigarber]

Re: Problema de aplicacion del calculo integral al calculo de Centro de masas de un objeto

Mañana te contestare. se me hace tarde. Un saludo y buenas noches.

- - - Actualizado - - -

¿Puedo suponer que donde pones $\rho$ (rho) te estás refiriendo a $\varphi$ (variante de phi)?

Tu ecuación (2) no es correcta, no es dimensionalmente consistente. Debería ser la misma ecuación (1.22) del enunciado.

Cierto en ambos casos. Me equivoque al poner los datos.

Tu ecuación (3), con la salvedad del $\rho$ que quiere ser $\varphi$, aunque es cierta no te sirve para la integral. Ese $dr$ que estás obteniendo no es el mismo $dr$ que aparece en la integral (o en la ecuación (2)). El $dr$ de la ecuación (2) (o la integral) es uno de los lados del "cuadrito" genérico representativo del diferencial de área y que puede ser un "cuadrito" cualquiera dentro del área encerrada por la curva. Por otra parte, el $dr$ que calculas en la ecuación (3) representa cómo varía $r$ cuando te mueves un cierto ángulo a lo largo de la curva que delimita el área y vendría a ser uno de los lados del diferencial de longitud de la curva.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Ahora voy a ver si consigo desarrollarlo.
Partimos de

$$r=RCos(2\varphi)$$

y de

$$dm=\sigma r dr d\varphi$$

Por otra parte de (1) deduzco;

$$dr=-R Sen(2\varphi) d\varphi$$

Sustituyendo el valor obtenido en (2) y teniendo en cuenta que $\boxed{Sen(a)Cos(a)=\frac{Sen(2a)}{2}}$
me queda

$$dm=-\frac{R^2 \sigma Sen(4\varphi)}{2}$$

Vamos a la primera integral.
La solución de dicha integral tras definirla, me sale;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Finalmente, la solución a la segunda integral me sale mal, ya que me sale

$$\boxed{-\frac{R^2 \sigma \pi}{16}}$$

[Al2000]

Re: Problema de aplicacion del calculo integral al calculo de Centro de masas de un objeto

Camarada, estás repitiendo el mismo error conceptual que plasmaste en tu primer mensaje. El $dr$ que calculas en tu ecuación (3) no es el mismo $dr$ que aparece en la ecuación (2)... por lo tanto la ecuación (4) es absolutamente falsa. Para hallar la masa, lo único que necesitas hacer es integrar el diferencial de masa (2), tal cual aparece en el enunciado del problema, Ec. (1.23). Nota que el único uso de la ecuación (1) es determinar los límites de la integral doble. Lo siento, amigo, pero lo que estás haciendo no tiene sentido y no te conducirá a nada válido.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[inakigarber]

Re: Problema de aplicacion del calculo integral al calculo de Centro de masas de un objeto

Buenas noches, Al.
No había visto tu actual post. Creo que he entendido, si bien tendré que meditarlo un rato.
Gracias

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Camarada, estás repitiendo el mismo error conceptual que plasmaste en tu primer mensaje. El $dr$ que calculas en tu ecuación (3) no es el mismo $dr$ que aparece en la ecuación (2)... por lo tanto la ecuación (4) es absolutamente falsa. Para hallar la masa, lo único que necesitas hacer es integrar el diferencial de masa (2), tal cual aparece en el enunciado del problema, Ec. (1.23). Nota que el único uso de la ecuación (1) es determinar los límites de la integral doble. Lo siento, amigo, pero lo que estás haciendo no tiene sentido y no te conducirá a nada válido.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Buenas tardes.

El único sentido que tenia lo que estaba haciendo es que me ha servido para aprender que estaba equivocado. Nunca me había planteado resolver una integral de ese tipo y he metido la pata como un bellaco. Una vez que he meditado sobre la cuestión y también por la información que he ido recabando, creo que he entendido la cuestión. Se trataría de resolver una integral, definirla entre sus términos, resolver la segunda integral y definirla finalmente.
Mi formación tanto en física como en matemáticas es autodidacta y totalmente por afición, no sigo unos estudios reglados (en este momento no puedo), o sea que estudio por simple gusto de saber. Supongo que con esta poca base habré soltado unas cuantas tonterías y me tocara decir unas cuantas mas en el tiempo que permanezca en el foro. Espero no decir siempre las mismas e ir aprendiendo tontería a tontería.


Un saludo y gracias.