2o ciclo Resolución integral

[Paul Dirac]

En una ecuación diferencial lineal me aparece la integral de esta función:

$\frac{x}{\sqrt{|{x}^{2 }-1|} }$
He probado por partes haciendo u=f(x) y dv=dx, pero me queda otra integral similar. ¿Alguna idea?

Gracias!

[angel relativamente]

Re: Resolución integral

¿No es directa? Prueba a derivar el denominador a ver qué pasa

[Umbopa]

Re: Resolución integral

Te propongo lo siguiente

Haz la integral de esta

$\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

Ahora la de esta

$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

La primera sera el resultado para |x| > 1 , la otra para |x| < 1

Dicho de otra forma


$\int \frac{x}{\sqrt{|x^2-1|}} = H(x^2-1) \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx + H(1-x^2) \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Siengo H(x) la funcion de Heaviside (H(x)=1 si x>0 , H(x)=0 si x<0)

Si tubieras que usar la primitiva para hacer una integral indefinida, tendrias que dividir los límites de integración en partes

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[MrM]

Re: Resolución integral

En una ecuación diferencial lineal me aparece la integral de esta función:

$\frac{x}{\sqrt{|{x}^{2 }-1|} }$
He probado por partes haciendo u=f(x) y dv=dx, pero me queda otra integral similar. ¿Alguna idea?

Gracias!

Solo estoy en segundo de bachillerato, y no entiendo muy bien qué ha hecho el compañero de arriba. Probablemente lo haya hecho del modo en el que os enseñan en la carrera, aunque esta se puede hacer con los medios de bachillerato. Yo probé a derivar el denominador para ver si era de la forma f'(x)/f(x), y al hacerlo me dí cuenta de que al derivar te sale $\frac{x}{\sqrt{{x}^{2 }-1} }$ .

Del mismo modo, al derivar -$\sqrt{1-{x}^{2}}$ nos da $\frac{x}{\sqrt{-{x}^{2 }+1} }$

Por lo tanto, la integral es:

F(x)=
*-$\sqrt{1-{x}^{2 }}$+K si -1<x<1
* $\sqrt{{x}^{2}-1}$+K si x$\leqslant$-1 o x$\geqslant$1.

Te repito que me fiaría más del compañero de arriba, porque probablemente haya usado herramientas de las que yo carezco (por ejemplo, la función de Heaviside, que no tengo ni idea de qué es ) Aunque mi resultado esté bien, probablemente el suyo esté mejor expresado. Lo único que puedo confirmarte es que si derivas las funciones que te he dado (F(x)), te dan como resultado las que tú has pedido (lo puedes comprobar en este derivador) http://www.roberprof.com/2011/04/07/...-de-funciones/

Un saludo.

[pilimafiqui]

Re: Resolución integral

Si la haces por un cambio de variable te sale muy fácil: X^2 -1 = t , ( derivas) 2XdX=dt , dx=dt/2x y ademas despejas x en la 1ª y te que raiz cuadrada de t+1.
Vas a la integral y sustituyes : raiz cuadrada de t+1/ raiz t . dt/ 2.raiz cuadrada de t+1 y que al simplificar te da dt/ 2.raiz t que es una integral sencilla.
Espero que lo entiendas y en caso contrario vuelve a preguntar.

[Paul Dirac]

Re: Resolución integral

Lo que dices es lo que primero que he hecho, pero el problema requiere una solución para todo R y no a trozos. A saber es:
$\frac{{x}^{2 }-1}{\sqrt{|{x}^{2 }-1|} }$
No es necesario definir la solución por intervalos, ya que se puede integrar con el valor absoluto sabiendo que:
$\frac{d|u(x)|}{dx }=\frac{u(x)}{|u(x)| }\frac{du}{dx }$

[pilimafiqui]

Re: Resolución integral

si integras lo que yo te puse la solucion es raiz cuadrada de t , es decir raiz cuadrada de X^2 - 1 .
No es una solucion a trozos.