1r ciclo Derivada de logaritmo natural

[fly]

Determinar la derivada de y:
$y=\ln x+\sqrt{1-x^{2}}\sec h^{-1}x$

Como me desasgo de esa sec?
Graciass

[pilimafiqui]

Re: Derivada de logaritmo natural

La sec al estar elevado a -1 la pasas al denominador.
Lo que no tengo claro es si es sec x ó sec h . x .
Si es el primer caso tendrías ahí la derivada de un cociente. Si es el segundo esa sec al no tener x sería una constante,la pasarías para delante y multiplicaría a la derivada del producto que te queda, la raíz cuadrada y la x
Recuerda que inicialmente lo que tienes es la derivada de una suma.

[sater]

Re: Derivada de logaritmo natural

no sera hiperbólica?

[Samir M.]

Re: Derivada de logaritmo natural

Por definición, $\displaystyle \mbox{sech}(y)= \frac{e^y - e^{-y}}{2} \,\,\, (1)$.

Sea $y = \mbox{sech}^{-1}(x)$, entonces

$\displaystyle x=\mbox{sech}(y)=\frac{e^y - e^{-y}}{2} = \frac{e^{2y} - 1}{2e^y} \to e^{2y} - 2xe^y- 1 = 0 \Leftrightarrow e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$

En el cálculo anterior, lo que hemos hecho es multiplicar la fracción (1) por $e^y$ en el numerador y el denominador, y a continuación formar una ecuación de segundo grado pasando todo al lado de la $x$. Resolvemos la ecuación de segundo grado con $e^y$ actuando como "incógnita" y desechamos la solución negativa de la raíz por ser, por definición, $e^y > 0$.

Ahora, despejamos $y$ de la ecuación $e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$ obteniendo que $\mbox{sech}^{-1}(x) = y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

Luego

$\displaystyle \frac{d}{dx} \mbox{sech}^{-1}(x) = \frac{d}{dx} \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

así, sólo tienes que aplicar la derivada de la suma y la derivada de un producto, teniendo en cuenta que la derivada de la inversa de la secante hiperbólica es la que hemos hallado:

$\displaystyle \frac{d}{dx} \mbox{sech}^{-1} (x)= \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Saludos.


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Hay un error, no es la secante hiperbólica sino el seno hiperbólico. Donde pone sec poned sen o sin.

[fly]

Re: Derivada de logaritmo natural

Por definición, $\displaystyle \mbox{sech}(y)= \frac{e^y - e^{-y}}{2} \,\,\, (1)$.

Ese no es el seno hiperbólico?

[Weip]

Re: Derivada de logaritmo natural

Ese no es el seno hiperbólico?

Sí, es el seno hiperbólico. Seguramente Samir lo nota así porque debe estar acostumbrado a escribir el seno como $sen$ y no como $sin$.

[Samir M.]

Re: Derivada de logaritmo natural

Aiba, se me fue la cabeza, eso es para el seno hiperbólico en vez de para la secante hiperbólica, disculpas.
De todas formas la idea de resolución es la anterior. Hallas la inversa del coseno hiperbólico en función de $x$ y tienes en cuenta que si

$\displaystyle y = \mbox{sech}^{-1} (x) \to x = \mbox{sech}(y) \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \cosh(y) \Leftrightarrow y = {\cosh}^{-1}(\frac{1}{x})$

luego

$$\mbox{sech}^{-1} (x) = {\cosh}^{-1}(\frac{1}{x})$$

ahora, tal como hicimos para la inversa del seno hiperbólico en el anterior mensaje, análogamente para el coseno obtenemos que

$$\mbox{sech}^{-1}(x) = y = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$$

por lo que ya es sencillo hallar la derivada de la secante inversa teniendo en cuenta la ecuación (1) y (2).

Debería quedarte que $\displaystyle \frac{d}{dx} \mbox{sech}^{-1} (x)= \frac{-1}{x\sqrt{1-x^2 }}$