Secundaria Derivada simple

[Jorge 2014]

Cual es la derivada de ${x}^{f(x)}$, como ${x}^{lnx}$?

¿Y como se hace la de${x}^{x}$?

Intento aplicar en la del logaritmo ${a}^{f(x)} = f'(x) \cdot ln(a) \cdot {a}^{f(x)}$, pero no me sale lo qe pone en el libro

Gracias1!

[Weip]

Re: Derivada simple

En general, la derivada de la función $f(x)^{g(x)}$ es:

$(f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)} \left( g'(x) \ln f(x)+\dst\frac{f'(x)g(x)}{f(x)}\right)$

Esta fórmula deberían habértela demostrado en clase, si no es así te enseño como llegar hasta ella. Con esto puedes hacer las derivadas que propones.

[Jorge 2014]

Re: Derivada simple

La verdad es qe no me la han enseñado, podrias ponerme tu la demostracion? Y otra cosa, para esta funcion:

a mi me sale ${{x}^{x}}^{x} \to {{x}^{x}}^{x} \cdot [ln({x}^{x}) + \frac{x \cdot {x}^{x} \cdot (lnx + 1)}{{x}^{x}}]$. Desarrollandolo tengo

${{x}^{x}}^{x} \cdot x \cdot (2lnx +1)$, cuando en el solucionario pone ${{x}^{x}}^{x} \cdot ({x}^{x} \cdot ({ln}^{2}(x) + ln(x) +1/x))$

¿donde me he equivocado?

[Weip]

Re: Derivada simple

En el ejemplo que me pones, $f(x)=x$ y $g(x)=x^x$ (o $f(x)=x^x$ y $g(x)=x$, como quieras). Lo que tu has hecho es intentar generalizar la fórmula de una forma un tanto extraña tomando$f(x)=x$ y haciendo $f(x)^{f(x)^{f(x)}}$. Por ejemplo dentro del paréntesis has hecho $g'(x)=1$ cuando en realidad $g(x)=x^x$ con lo que $g'(x)=(x^x)'$. Toma esto en cuenta para los demás cálculos.

En cuanto a la demostración, sale del hecho de que:

$f(x)^{g(x)}=e^{\ln f(x)^{g(x)}}=e^{g(x) \ln f(x)}$

Derivamos conociendo que $e^{f(x)}=e^{f(x)}f'(x)$, que $\ln f(x)=f'(x)/f(x)$ y aplicando la regla del producto:

$(f(x)^{g(x)})'=e^{g(x) \ln f(x)}\left(g'(x) \ln f(x)+\dst\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)$

Como $e^{g(x) \ln f(x)}=f(x)^{g(x)}$, hemos acabado.

[MrM]

Re: Derivada simple

La verdad es qe no me la han enseñado, podrias ponerme tu la demostracion? Y otra cosa, para esta funcion:

a mi me sale ${{x}^{x}}^{x} \to {{x}^{x}}^{x} \cdot [ln({x}^{x}) + \frac{x \cdot {x}^{x} \cdot (lnx + 1)}{{x}^{x}}]$. Desarrollandolo tengo

${{x}^{x}}^{x} \cdot x \cdot (2lnx +1)$, cuando en el solucionario pone ${{x}^{x}}^{x} \cdot ({x}^{x} \cdot ({ln}^{2}(x) + ln(x) +1/x))$

¿donde me he equivocado?

A la aportación de Weip me gustaría añadir otro método para calcular dicha fórmula. Realmente se basa en lo mismo (es muy similar, aunque algo más larga), pero es la que me enseñaron a mí en bachillerato, así que quizás te sirva.

Sea $\dst y={f(x)}^{g(x)}$, queremos hallar y'. Si aplicamos logaritmos neperianos a ambos términos de la ecuación, nos queda $ln y=ln {f(x)}^{g(x)}=g(x) lnf(x)$ (recuerda las propiedades de los neperianos). Derivando ambas expresiones, tenemos por un lado la derivada de ln y, y por otro la derivada de un producto. Esto sería $\dst \frac{y'}{y}=g'(x)*ln f(x)+\frac{f'(x)g(x)}{f(x)}$ (para hacer esto debes saber cómo se hace la derivada de un producto). Despejando y' nos queda: $\dst y'=y(g'(x)*ln f(x)+\frac{f'(x)g(x)}{f(x)})$. Además, sabemos que $\dst y={f(x)}^{g(x)}$ (es la primera ecuación que tenemos en el problema), por lo que $\dst y'={f(x)}^{g(x)}(g'(x)*ln f(x)+\frac{f'(x)g(x)}{f(x)})$

PD: para esta demostración, he supuesto que tienes conocimientos básicos de las propiedades de los logaritmos, y que sabes hacer la derivada de un producto. Si no sabes dímelo y te explico las propiedades necesarias para comprender la demostración.

Un saludo.

[Jorge 2014]

Re: Derivada simple

Eso me ha quedado claro, gracias. Pero tengo una duda, yo había tomado $f(x) = {x}^{x}$ y $g(x) = x$, ¿por qué no lo puedo tomar así?

[Weip]

Re: Derivada simple

Eso me ha quedado claro, gracias. Pero tengo una duda, yo había tomado $f(x) = {x}^{x}$ y $g(x) = x$, ¿por qué no lo puedo tomar así?

Lo puedes hacer, lo que pasa es que te debes haber equivocado en los cálculos.

[Jorge 2014]

Re: Derivada simple

Si $(f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)} \left( g'(x) \ln f(x)+\dst\frac{f'(x)g(x)}{f(x)}\right) \to$$D({{x}^{x }}^{x})$, con $f(x) = {x}^{x}$ y $g(x) = x$:

$D({{x}^{x }}^{x}) = {{x}^{ x}}^{x } \cdot (1 \cdot ln({x}^{x }) + \frac{{x}^{x }(ln(x)+1) \cdot x}{{x}^{x}}) =$${{x}^{x}}^{x} \cdot (ln({x}^{x}) + ln{x}^{x} +x)$, pero sigue sin salirme. ¿donde he fallado?

[Marce_]

Re: Derivada simple

Hola Jorge.


Cuidado!:

$$u(x)=x^{x^x}\quad \neq \quad v(x)=\left(x^x \right)^{x}=x^{x^2}$$

Tu elección de funciones comple con $\dst v(x)$, pero no $\dst u(x)$, que es la función del enunciado a cuya respuesta citas.


Un abrazo.-

[pilimafiqui]

Re: Derivada simple

y= f(x)^g(x), para derivar esta función, se toman ln en ambas miembros.
lny = lnf(x)^g(x), en los ln las potencias pasan para delante del ln y queda: lny= g(x). ln f(x), derivas ambas partes,
1/y . y' = g'(x) ln f(x) + g(x) . f'(x)/f(x), despejamos y'= `( g'(x). lnf(x) + g(x) . f'(x) / f(x) ) . y , sustituimos y por su valor y tenemos la derivada.
De esta forma no tienes que aprenderte la fórmula y siempre la puedes aplicar cuando tienes una función elevada a otra funciòn.

[Miquel Bernat]

Re: Derivada simple

Recomiendo que escribas la función como una ecuación:

f(x)={g(x)}^{h(x)}

y={g(x)}^{h(x)}

Luego aplicas logaritmos a ambos lados de la ecuación:

ln y=ln({g(x)}^{h(x)})

ln y=h(x) ln(g(x))

Derivamos en ambas partes de la ecuación:

y'/y=h'(x) ln'(g(x))

Multiplicamos por (y) y nos queda que la derivada y' es igual a:

y'=h'(x) /ln'(g(x) y

Un saludo.

[Weip]

Re: Derivada simple

Ya hace unos meses que Jorge debe haber resuelto su derivada. Dudo que le sea útil, más cuándo ya se habían comentado ciertas cosas de vuestros comentarios anteriormente de forma detallada. Lo digo más que nada porque no perdáis tiempo.

[Jorge 2014]

Re: Derivada simple

Sí, ha pasado ya mucho tiempo y ya aprendí a hacerla, pero gracias igualmente

[Marce_]

Re: Derivada simple

El error fue mio al reflotarlo. Vi el día 26 y sinceramente pensé que era un tema reciente. Mis disculpas.

Saludos a todos.