Secundaria derivada

[Jorge 2014]

Hola, en este ejercicio me pide que calcule la tangente de la funcion ${y}^2 + -4y +4x -12$. Pero el problema es que no se cpomo derivar eso (debo tomar ${y}^2$ y $-4y$ como una constante? Debo hacer una derivada respecto a $y$ en vez de respecto a $x$?).
$f'(x) = 4 ...$

gracias!1!

[Visitante]

Re: derivada

Pues yo lo haría así:
f(y)=y^2+(-4y)
g(x)=4x-12
z(f+g)=f(y)+g(x)
entonces
z`(f+g)=(f(y)+g(x))`=f`(y)+g`(x)
Siendo f, g y z funciones y ` la derivada.
Todavía no se utilizar LATEX, espero aprender pronto según tenga más tiempo libre.
Saludos,
Malevolex

[angel relativamente]

Re: derivada

z(f+g)=f(y)+g(x)
entonces
z`(f+g)=(f(y)+g(x))`=f`(y)+g`(x)
Siendo f, g y z funciones y ` la derivada.

No sé que regla es esa pero desde luego no lo puedes tratar como dos funciones separadas de variables distintas ya que hay una relación entre x e y. Además que no tiene sentido hablar de la derivada si no dices con respecto a qué, y aquí tu ' es en cada caso aplicada a variables distintas.


Con respecto al problema, lo que pones es una función de dos variables $f(x,y)$. Entiendo que eso no es lo que te dan, porque si no, ¿a qué se refieren con tangente? ¿al plano?
Si lo que tienes es que la relación entre las variables x e y es ${y}^2 + -4y +4x -12=0$, entonces es tan simple como "derivar todo con respecto a x"

[Jorge 2014]

Re: derivada

El ejercicio dice: "Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola ${y}^2 + -4y +4x -12=0$ en los puntos de corte con los ejes coordenados".

- - - Actualizado - - -

Y derivando respecto a x, como ${y}^{2}$ y $4y$ son cte., me quedaría $f'(x) = 4$, no???

[Al2000]

Re: derivada

Nope!, $y$ no es constante, sino una función de $x$. Al derivar la expresión tendrás $2 y\,y' - 4 y' + 4 = 0$. despeja $y'$ (puesto que $y'$ es la tangente) y sustituye el valor de $x$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Jorge 2014]

Re: derivada

Al, ¿cómo te ha salido eso?

[angel relativamente]

Re: derivada

Por la regla de la cadena (separo los sumandos):

$$\dfrac{\dd(y^2)}{\dd x} = 2y\dfrac{\dd y}{\dd x} = 2yy'$$

$$\dfrac{\dd(-4y)}{\dd x} = -4\dfrac{\dd y}{\dd x}=-4y'$$

$$\dfrac{\dd 4x}{\dd x}=4\dfrac{\dd x}{\dd x} =4$$

[Jorge 2014]

Re: derivada

No entiendo el primero, ¿como es que puedes sacar fuera el 2y?

[angel relativamente]

Re: derivada

Por la regla de la cadena, si $f$ es una función la derivada de $f^2$ es $2f f'$, ¿o cómo calculas tú la derivada de la función cuadrática? :P

[Jorge 2014]

Re: derivada

:O Que $y = f(x)$!! Se me ha ido la olla completamente... espero que mi profesor no encuentre esta pagina nunca! :P

[Visitante]

Re: derivada

No sé que regla es esa pero desde luego no lo puedes tratar como dos funciones separadas de variables distintas ya que hay una relación entre x e y. Además que no tiene sentido hablar de la derivada si no dices con respecto a qué, y aquí tu ' es en cada caso aplicada a variables distintas.


Con respecto al problema, lo que pones es una función de dos variables $f(x,y)$. Entiendo que eso no es lo que te dan, porque si no, ¿a qué se refieren con tangente? ¿al plano?
Si lo que tienes es que la relación entre las variables x e y es ${y}^2 + -4y +4x -12=0$, entonces es tan simple como "derivar todo con respecto a x"

Las traté como una variable porque supuse que había una relación entre ambas como ha indicado jorge... entonces hay una regla que dice que la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una...
Y respecto a qué, es simplemente la función derivada, no han especificado ningún punto... la derivada de toda la función ( x^2 -4y+4x-12) es igual a la suma de las derivadas de cada función...
Pero ya no importa, ya se ha aclarado la relación.

[Weip]

Re: derivada

Y respecto a qué, es simplemente la función derivada, no han especificado ningún punto... la derivada de toda la función ( x^2 -4y+4x-12) es igual a la suma de las derivadas de cada función(f(y) y f(x)) como ya dije...

La notación de la prima sirve solo para una variable porque se entiende que siempre es respecto a $x$. Si no, la derivada no tendría sentido. Si tuvieras varias variables, tendrías que especificar respecto a qué variable estás derivando y usar la notación que proceda (puesto que entonces estás haciendo una derivada parcial). Lo que quiero decir es que no puedes derivar respecto dos variables distintas a la vez. Primero respecto a una y luego respecto a la otra, dejando constante la otra variable que te queda en cada caso. Esto invalida tu proceso (y como dice Ángel, esa regla no existe). Igual ahora es un poco difícil de entender porque a la práctica parece que no hay diferencia, pero todo esto se respalda en una teoría que crujiría mucho si la fuerzas a hacer estas cosas.

Te lo explico gráficamente mejor. En una variable, puedes hacer el límite por la izquierda o por la derecha. Pero en varias variables, hay muchísimas direcciones a las que acercarte a un punto. Al fijar una de esas direcciones, necesariamente fijas la variable respecto a la que derivas y dejas constantes a las otras por narices. Creo que así más o menos se entiende mejor, yo tampoco es que sea bueno explicándome xD.

[Visitante]

Re: derivada

Pero no son distintas, es respecto a una variable, Jorge 2014 ya dio la relación entre ambas. Y la forma en que la hice es una operación elemental de funciones derivadas, vuelvo a expresarlo a ver si me explico mejor porque al igual que Weip, no soy tan bueno explicando, por ahora...
f(x)=(4x-12)
(g o z)(x))=(z(x))^2-4(z(x))
m(f(x)+((g o z)(x)))=(z(x))^2-4(z(x))+(4x-12)=
siendo y =z(x)
m`(f(x)+(g o z)(x)))=(f(x)+(g o z)(x)))`=f`(x)+g`(z(x)) * z`(x)=f`(x)+g`(y)

Espero que se vea más claro

[Al2000]

Re: derivada

:O Que $y = f(x)$...

Jejeje, tranquilo, eso pasa hasta en las mejores familias

Yo casi preferiría decir que $x = f(y)$, pues $y = f(x)$ sería en todo caso una función multivaluada (¿una relación?). Nota que la curva $y^2 - 4y + 4x - 12 = 0$ es una parábola que abre hacia la izquierda (hacia -$x$). Pero bueno, eso no cambia nada lo que tienes que hacer. Una vez tengas la pendiente $y' = 2/(2-y)$ y las coordenadas de las tres intersecciones con los ejes, puedes escribir fácilmente las ecuaciones de las tres rectas tangentes.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Weip]

Re: derivada

Pero no son distintas, es respecto a una variable, Jorge 2014 ya dio la relación entre ambas. Y la forma en que la hice es una operación elemental de funciones derivadas, vuelvo a expresarlo a ver si me explico mejor porque al igual que Weip, no soy tan bueno explicando, por ahora...
f(x)=(4x-12)
(g o z)(x))=(z(x))^2-4(z(x))
m(f(x)+((g o z)(x)))=(z(x))^2-4(z(x))+(4x-12)=
siendo y =z(x)
m`(f(x)+(g o z)(x)))=(f(x)+(g o z)(x)))`=f`(x)+g`(z(x)) * z`(x)=f`(x)+g`(y)

Espero que se vea más claro

Por supuesto, ahora de lo que estamos hablando es un ejercicio totalmente diferente al del inicio del hilo, solo hablo en situación hipotética en que la situación fuera derivar una función en varias variables.

La regla que has usado en el anterior mensaje no es correcta. El motivo ya lo he expuesto en mi anterior mensaje, así que voy a reformular la respuesta. Uno no puede derivar a la vez dos variables. Si intentas hacer los límites ¿como los harías? No puedes con la definición de derivada en una variable, pero no porque yo lo diga, pruebalo y verás que uno se encalla porque no sabe hacerlo. Quiero hacer énfasis en lo de los límites que he comentado en mi anterior mensaje. En una variable solo te puedes acercar a un punto por la izquierda o por la derecha. Solo hay esas opciones. Cuando ciertos límites coinciden, entonces podemos hablar de derivada (la definición ya la conoces). Pero en varias variables, por ejemplo en una función que se represente mediante un plano, puedes acercarte por muchos sitios a punto. En el momento en que elijes una de esas direcciones, estás considerando una sola variable y dejas las demás constantes. Si ahora derivas, estarás haciendo una derivada parcial, y no una normal y corriente.

Sé que es muy lógico actuar así cuando uno viene del cálculo en una variable, pero es errónea. Tal como indica su nombre, el cálculo en una variable se aplica a funciones de una sola variable, es una hipótesis fundamental. Y no está porque sí, está porque si consideramos más de una como en nuestra hipotética situación, las cosas cambian. Las reglas que conoces dejan de servir y se reemplazan por otras, que dan lugar a otros resultados.

Conclusión: no se puede derivar respecto dos variables a la vez, aunque intentes separarlas como haces. Si quieres derivar respecto a $x$ y respecto a $y$, primero derivas la función de $x$ dejando como constante la de $y$ y luego si quieres derivas la función de $y$ dejando constante la de $x$. Que cuidado, no da el mismo resultado que lo que has hecho (en general, supongo que por casualidades de la vida debe existir una función que le pasa eso, pero que sería pura casualidad).