Dibujar la funcion Zeta de Riemann

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Y en resumen:
1.-
El mejor resultado que he podido obtener para evaluar la ecuacion
funcional (con 15 digitos de precision) para s(0.5+0.5i) usando n=100
para evaluar la funcion Zeta y 10000000 de productos por cada ´s´ para
evaluar la funcion Gamma ha sido:
Ec. funcional = -1.977027951439898 + 1.236549231921607 x 10^-8 i
2.-
A partir de las formulas extraidas de la Wikipedia:

$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}=\frac{1}{2}\int_{x=0}^\infty( \vartheta(0;xi)-1)x^{{(s/2)}-1} dx}$

$\dst{\vartheta(z; \tau)=1+2\sum_{n=1}^\infty(e^{\pi i \tau})^{n^2}cos(2 \pi n z)}$

Que se resumen para calculo numerico en:

$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}=\sum_{x=0}^\infty(\sum_{n=1}^\infty e^{- \pi n^2 x})x^{{(s/2)}-1}\Delta x}$

La segunda parte de la ecuacion, NO se aproxima a (-1.97, 0i) para s(0.5+0.5i)
ni por casualidad. Aumentando los valores de ´x´, ´n´ y disminuyendo los valores
de ´incr.t´ parece que converge en unos ciertos valores y luego ´vibra´ alrededor
de ese valores...pero que no tienen nada que ver con (-1.97,0i).
Y deduzco que esta ecuacion NO es cierta...

$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}\neq\frac{1}{2}\int_{x=0}^\infty( \vartheta(0;xi)-1)x^{{(s/2)}-1} dx}$

3.-
A partir de las ecuaciones de C. Calderon:

$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}=\frac{1}{s(s-1)}+\int_{x=1}^\infty (x^{-\frac{1}{2}(s+1)}+ x^{\frac{s}{2}-1}) \theta (x)dx}$

$\dst{ \theta(x)=\sum_{n=1}^\infty e^{-n^2 \pi x}}$

Que se resumen para calculo numerico en:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y esta segunda parte de la ecuacion, SI se aproxima a (-1.97,0i) para s(0.5+0.5i).
De hecho, para x_max = 4.0 é incr._x = 0.00000001 dá:
-1.97702798... + 0.0 i
Y esto SI me parece correcto.
4.-
Y SI. Para todo punto s(0.5+ti) el resultado de la ecuacion funcional es (R+0i).
De hecho, para s(0.5+14.134725i), (El primer ´cero´ de Riemann),
para x_max = 4.0 é incr._x = 0.00000001 dá: 4.4587...x 10^-7 + 0 i
Y para s(0.499999+14.134725i) dá: 4.8862...x 10^-7 + 1.3455...x 10^-11 i
5.-
Demostrar matematicamente que la ecuacion funcional siempre dá (R+0i) para
todo s(0.5+ti) me parece facil porque:

$\dst{\frac{1}{s(s-1)}}$

y

$\dst{ (x^{-\frac{1}{2}(s+1)}+ x^{\frac{s}{2}-1})}$

siempre dan (...+0i)...(El resto son numeros reales).
Luego:

$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}=(R+0i)}$

para estos casos.
6.-
Lo que no sé es si la sustitucion de la integral por el sumatorio que he hecho
y que en este caso particular si funciona, porque en la practica solo trabajo con
numeros reales, en el caso que el valor real de ´s´ no fuese 0.5, y que estuviese
trabajando con numeros complejos...la sustitucion no sé si seria correcta...
Un saludo.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Sorprendentemente para mi, esta ecuación también funciona para puntos con parte real diferente de 0.5...

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo que me indica que la sustitución de la integral por el sumatorio también va bien con números complejos...

Un saludo.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Este sistema de sustituir la integral por un sumatorio...SI funciona en
teoria pero...NO funciona en la practica.
Cuando intento mejorar la precision del resultado disminuyendo el
valor de incr._x, llego a un punto en el que el resultado empeora...
Esto es debido a que la maquina solo trabaja con 15 digitos de precision
y cuando la funcion es, en este caso, muy oscilante, empieza a sumar
cada vez mas numeros truncados a 15 digitos y esta perdida sistematica
de decimales hace que a partir de un cierto valor de incr._x (que en este
caso de situa en torno a 10^-8) el sumatorio empeora.
Tengo que resolver la integral por otro sistema si quiero obtener los
10 primeros ´ceros´ de Riemann con una precision menor del 1%.
(Hasta ahora solo he podido calcular el decimo ´cero´ con una precision
del 5%...y esto no es suficiente.)(El resultado empeora sistematicamente
a medida que avanzo sobre la seccion s(0.5+ti))
La integral es, a efectos practicos:

$\dst{B(t)=\int_{x=1}^5 2 x^{-0.75}cos (\frac{t}{2}ln (x))e^{-\pi x} dx}$

Alguna idea?
Un saludo.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Los ceros se encuentran en las intersecciones de las curvas:

$\dst{A(t)=\frac{1}{t^2+0.25}}$

y

$\dst{B(t)=\int_{x=1}^\infty 2 x^{-0.75}cos (\frac{t}{2}ln (x))(e^{-\pi x}+e^{-4 \pi x}+e^{-9 \pi x}+ ...) dx}$

y

$\dst{B(t,x)=-x^{(0.25-ti/2)}(x^{ti}(E(0.75-ti/2,\pi x)+E(0.75-ti/2,4 \pi x)+...)}$
$\dst{+E(0.75+ti/2,\pi x)+E(0.75+ti/2,4 \pi x)+...)}$

y

$\dst{E(n,m)=\int_{z=1}^\infty e^{-m z} z^{-n}dz}$

Segun el programa de calculo WAlfa, que trabaja con mucha mas precision que
15 digitos, para t=32, la diferencia entre las 2 curvas es mayor que -1 x 10^-11...
y para t=37.4, es menor que 10^-13...y para t=50 es menor que 10^-15...
Luego...yo con mi modesto PC y mi Fortran77, es inutil que intente determinar
con precision el cuarto cero (t=30.4)...y mas allá... con este procedimiento, en parte,
debido a los errores de suma que se cometen al evaluar la funcion E(n,m).
(Obtengo el cuarto cero en t=28.7 en lugar de t=30.4)
Pero en cambio, va perfecto con el primer cero (t=14.134725)...va bien con
el segundo cero (t=21.019 en lugar de t=21.022)...regular con el tercer cero
(t=24.76 en lugar de t=25.01)...
Los resultados que habia obtenido no determinaban los ceros, sino que...querian
decir que habia ceros y que estaban, mas o menos, por ahí...
Fin del proyecto.
Un saludo.

P.S. Me sentiré muy satisfecho si toda esta experiencia le sirve a alguien para
seguir pensando cual es la relación concreta entre los números primos
y los ceros de Riemann.

[chicho]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

P.S. Me sentiré muy satisfecho si toda esta experiencia le sirve a alguien para
seguir pensando cual es la relación concreta entre los números primos
y los ceros de Riemann.

escribiste esto, veo que no encontras la relacion entre los primos y los ceros....

yo tampoco (al menos todavia)

es mas, me entere que se puede hacer una buena aproximacion a la funcion contadora pi(x) ( que dice cuantos primos menores que x hay), sin utilizar para nada numeros complejos. Solo hay que aproximar usando unas cuantas iteraciones incrementanto (o disminuyendo) con (1/x)*mo(x)*ln(x elevado 1/x) para cada pi(x).
esto genera una curva que se aproxima a pi(x) mucho mejor que n/ln(n)

hice esta aproximacion programandola yo mismo, y funciona perfecto.


en fin, tengo miedo de dos cosas
a) ser demasiado tonto para ver la relacion de los ceros (complejos) de la z con los primos
b) creer que la aproximacion se puede hacer mucho mas facil con calculos bastante mas simples.

ojo, no hay ninguna "magia" con las aproximaciones de los logaritmos, dado que se necesita la funcion mu(x) (que vale 0 si x tiene algun divisor, 1 si x tienen un numero par de primos que lo dividen, y -1 si tiene un numero impar de primos que lo dividen

o sea, para calcula mu(x) necesitas previamente construirte los valores con la ......factorizacion de los x....

computacionalmente, no se gana nada...

estimo que el tema debe venir por el lado de que la funcion zeta, por ejemplo, con las distancias entre los "ceros" que estan en 0.5 + t i , esas distancias se pueden usar como factor corrector de la formula de n/ln(n).

bueno, espero que se entienda algo.
saludos.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Quizas voy a escribir una tonteria y/o quizas los matematicos
ya lo saben...y yo, no...pero voy a arriesgarme.

1.- El producto de Euler solo trabaja con primos y tiene una
relacion con la funcion Zeta de Riemann.

2.- El producto de Euler tambien se puede representar como
un sumatorio de una funcion compleja de numeros naturales.

3.- La funcion Zeta de Riemann es una extension a todo el plano
complejo del producto de Euler.

Yo creo que:

La funcion Zeta de Riemann en el plano complejo es una imagen
de interferencia. Es decir, cada 'pixel' de la 'imagen' de la funcion
Zeta de Riemann contiene toda la informacion de la imagen total
pero hacen falta todos los pixels para construir un espectro con
precision maxima.
Es decir, cuanto menor es el tamaño del pixel y mayor es el area
de la imagen en el plano complejo...mayor será la precision de un
espectro numeros naturales – probabilidad de ser primo...
(Seguramente la mejor area de trabajo será la alineada con el
valor de Rs = 0.5)

Lo que no sé es como 'iluminar' la funcion Zeta de Riemann con
una funcion compleja (en funcion del tamaño del pixel y del tamaño
de la imagen de trabajo) para que me devuelva un espectro
numeros naturales – probabilidad de ser un multiplo de los
anteriores.

Suerte y un saludo.

[chicho]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

dos cosas
a) primero, quiero hacer una correccion a lo que yo habia contado en mi anterior comentario, ahora entendi (finalmente, por fin y aleluya), que lo que aportan los ceros de la ZR son numeros complejos, que se usan como "cooredenadas" para las correcciones en la formula de calculo de LI(x) (la funcion que devuelve la cantidad de primos menores que x). Son los que no pudiste calcular con presicion, salvo para los primoeros valores. Hay colgados in internet millones de valores de los ceros)
Un buen lugar donde esta explicado esto es aqui: (hay muchos buenos lugares con informacion, este reune varios datos concretos)

http://empslocal.ex.ac.uk/people/sta.../encoding1.htm

miralo un poco.
me gusto la animacion que muestra, donde, con sucesivas aproximaciones (aplicando mas terminos correctores que salen de la posicion de los ceros en la zeta riemann), la curva inicialmente lisa se va escalonando copiando los escalones de la contadora de primos.... magia de harry potter!!

b) no se como cuerno pudo riemann saber que los ceros de la funcion se podrian utilizar como entrada para aproximar (hasta el grado de presicion que se quiera), la funcion contadora de primos. No lo se...

c) el tema de la demostracion (y el premio de un millon !) de que todos los ceros estan en la recta 0,5+ t i, es porque es NECESARIO que esos ceros sean infinitos, asi se puede "corregir" infinitamente la funcion contadora, agregando tantas coordenadas como se necesite.

y los matematicos ya dan por sentado que es verdadero, es decir, indudablemnte todos los ceros son de la forma 0.5 + t i

muy interesante, una cosa mas, por lo que lei (ni loco me meto a calcular los valores de la zeta, mucha cuenta), no es deficil calcularlos con bastante presicion, quiza estes arrastrando un error en algun calculo intermedio o vaya a saber que, pero deberia funcionar.

saludos

- - - Actualizado - - -

pd: quiza no estes utilizando la formula correcta, hay varias formas de escribir la Z. Posiblmente haya otra mas apropiada para los calculos.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Muchas gracias, Chicho. Excelente referencia la que nos has enviado.
Este 'espectro' que aparece en la mitad, inferior de la animacion
tiene toda la apariencia de ser lo que yo pretendia hacer...
Voy a intentar comprender como está hecho y voy a intentar
reproducirlo.

Como yo entiendo y manejo mucho mejor el Producto de Euler
que la función Zeta de Riemann y los dos están relacionados,
voy a intentar hacer algo semejante pero sobre el Producto.

Al final, el Producto es una superposición de infinitas ondas
con una Amplitud de:

$\dst{A = \frac{1}{n^{rs}}}$

Y una longitud de onda:

$\dst{\lambda_n = \frac{2 \pi }{ln \; n}}$

Y donde la onda 'is' está desfasada pi /2 sobre la onda 'rs'.
Para n >= 2 y entero positivo. (El n =1 es muy importante
pero es un caso especial porque tiene longitud de onda infinita).

Un saludo.

[chicho]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

la graficas que sucesivamente se van aproximando a la funcion contadora de primos (pi(x)), es relativamente facil de programar (sobre todo en comparacion con las excelentes graficas 3d que desarrollaron mas arriba).
yo, para ahorrar tiempo, y para concentrarme en entender el problema, solo hice un programita (muy modesto, en visual basic) que manda los valores a un archivo de texto, de alli levanto valores y grafico en excel.
Efectivamente, obtengo las aproximaciones o correcciones de una funcion que como entrada tiene los valores de la parte imaginaria de los ceros de la Z de riemann. Si bien use hasta 1000 ceros, con utilizar unos 20 la funcion ya copia los escaloncitos de forma bastante precisa. Es realmente muy interesante....sobre todo porque no tengo la mas remota idea de porque las coordenadas de los ceros de rieman, (metidas y estrujadas en una funcion), tiran valores que indican la separacion en los numeros primos.... me da la impresion que entender ESO seria lo mas interesante de toda esta cuestion.

saludos

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Yo, no entiendo o no sé interpretar las formulas pero
a mi, esto no me sale...

En particular, no puedo ajustar:

$\dst{T_k (x)= -R(x^{\rho_k})-R(x^{\rho_{-k} })}$

con esto:



(Esto está en: http://empslocal.ex.ac.uk/people/sta.../zeta/ss-a.htm)

y, este sumatorio, no consigo que converja en un valor en funcion de m:

$\dst{\sum_{m=1}^{\infty} R(x^{-2m})}$

??? (Seguiré intentandolo...)

De todas formas, si, me parece increible la formula...(El Genio de Riemann)
y su relacion con los 'ceros' de la funcion Zeta de Riemann.

$\dst{R_n(x) = R(x)-\sum_{m=1}^{\infty} R(x^{-2m})+\sum_{k=1}^{\infty} T_k(x)}$

Y...Si...Creo que en entender el ¿Porque? Está el 'quid' del problema.

Un saludo.

- - - Actualizado - - -

Hola Chicho.
Podrias explicarnos como has hecho esto?

$\dst{R_n(x) = R(x)-\sum_{m=1}^{\infty} R(x^{-2m})+\sum_{k=1}^{n} T_k(x)}$

porque, para mi, la funcion R(x) (definida asi):

$\dst{R(x)= 1 + \sum_{j=1}^{\infty}\frac{(ln \; x)^j}{j \; j! \; \zeta (j+1) }}$

Funciona perfectamente bien para x > (digamos que) 2.
Pero no funciona (tiende a infinito) para x < 1. Y en:

$\dst{\sum_{m=1}^{\infty} R(x^{-2m})}$

Siempre $\dst{(x^{-2m})}$ es menor que 1...

Por otra parte. ¿Que quiere decir?

$\dst{R (x^{\rho_k})}$

Por ejemplo, para el primer 'cero' de Riemann, es esto?

$\dst{R (x^{0.5+14.13i})}$

o bien, esto?

$\dst{R (x^{0.0+14.13i})}$

Pero es que, en ambos casos, la funcion R(x) definida antes, tampoco funciona...???
(Esto es una exponenciacion compleja elevada a otra exponenciacion compleja y
depende de si 'j' es par o impar...que el resultado es mayor o menor que 1...)

Debo usar la otra definicion de R(x)???

$\dst{R (x) = \sum_{j=1}^{\infty}\frac{\mu (j)}{j} Li (x^{\frac{1}{j}})}$

Gracias y un saludo.

[Alriga]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Sobre este tema veo que Francis publica hoy un post, os lo enlazo por si os puede interesar a los seguidores de este hilo: La hipótesis de Riemann y el método de Turing para calcular sus ceros

El post de Francis contiene varios enlaces a otros trabajos e incluye bibliografía.

Saludos.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

No sé quien ha escrito los textos de las 2 referencias anteriores:
http://empslocal.ex.ac.uk/people/sta.../zeta/ss-a.htm
http://empslocal.ex.ac.uk/people/sta.../encoding1.htm

Pero si puedo decir que esto NO funciona:

$\dst{\pi (x)\approx R(x)-\sum_{m=1}^{\infty} R(x^{-2m})+\sum_{k=1}^{\infty}(-R(x^{\rho_k})-R(x^{\rho_{-k}}))}$

He escrito un programa en FORTRAN para calcular la funcion R(x^a):

$\dst{R(x^a)= 1 + \sum_{j=1}^{\infty}\frac{(ln \; x^a)^j}{j \; j! \; \zeta (j+1) }}$

Según la serie de Gram y lo he comprobado con WolframAlfa.
(Todo con numeros complejos).
(El programa funciona correctamente con cualquier valor de 'a' y de 'x')

Y simplemente no funciona porque este sumatorio aumenta continuamente y no converge.

$\dst{\sum_{k=1}^{\infty}(-R(x^{\rho_k})-R(x^{\rho_{-k}}))}$

Lo que SI funciona es lo que escribe Hans Riesel en su libro:
'Prime Numbers and computer methods for factorization'

$\dst{\pi (x)\approx R(x) + \sum_{k=1}^{\infty} C_k (x)}$

$\dst{C_k (x)\approx \frac{-2 \sqrt{x}\;cos(\alpha_k \; ln(x)-arg(\rho_k))}{\mid \rho_k \mid \;ln(x)}}$

$\dst{\rho_k = 0.5 + \alpha_k \;i}$

Aqui, $\dst{C_k (x)}$ si converge. ($\dst{\rho_k}$. son los 'ceros' de Riemann).

Y el 'espectro' de numeros primos debe obtenerse de la derivada de $\dst{\pi (x)}$.

Un saludo.

P.S.
El 'espectro' de los números primos:

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Riemann no planteó esta ecuación:

$\dst{R_n(x) = R(x)-\sum_{m=1}^{\infty} R(x^{-2m})+\sum_{k=1}^{\infty} T_k(x)}$

ni esta:

$\dst{\pi (x)\approx R(x)-\sum_{m=1}^{\infty} R(x^{-2m})+\sum_{k=1}^{\infty}(-R(x^{\rho_k})-R(x^{\rho_{-k}}))}$

Sino esta, en 1859:

$\dst{f (x)= Li (x)-\sum_{\rho }^{\infty} Li (x^\rho )- ln \; 2 \; +\int_{x}^{\infty}\frac{dt}{t \; ln \; (t) \; (t^2-1)}}$

Y el termino genial y fundamental es este:

$\dst{\sum_{\rho }^{\infty} Li (x^\rho )}$

Un saludo.

[Fortuna]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Buenas.
Hace años me propuse también dibujar la función zeta. Como me gustaban los fractales y usaba Ultrafractal pensé que si usaba una sola iteración tendría el dibujo de la función. Ahora bien, el resultado es un número complejo y hay que elegir que es lo que pintas. Puedes elegir el módulo o argumento o una función que permita ver bien ambos.

Te pongo el código y dos ejemplos, uno para ver el cambio de fase del argumento de positivo a negativo y otro que resalta los valores próximos a 0.

Para calcular la función zeta, necesitas 3 cosas. Un método acelerado para la función para Re(z)>1, la función Gamma, y la ecuación funcional que es la prolongación analítica para Re(z)<1. Está escrito en la formulación de UltrFractal.

Código para la fórmula. Hace años que la escribí, así que no preguntes demasiado.
Los parámetros son
n es la cantidad de sumandos de la serie para Re(r)>1
zn es la cantidad de sumandos de la serie aceleradora, que se pre-calcula para acelerar el fractal (son siempre los mismos números). No me acuerdo de esto, así que tendrás que buscar como se consigue acerar la convergencia de la serie de zeta para Re(z)>1. Aunque luego me parece que sólo utilizo n.

class Riemann {
;
; FUNCION ZETA DE RIEMAN
; FUNCIONA GAMMA
;


public:


int N
int Nz
float pg[10]
float tab_snk[1000] ;Se resereva espacio como para que N=1000


;
;Constructor
;
func Riemann(int n,int nz)                        ;Constructor


 N=n
 Nz=nz                                       ;inicializa N
 ;setLength(tab_snk,N+1)                   ;inicialización para GAMMA
 pg[0]=0.99999999999980993
 pg[1]=676.5203681218851
 pg[2]=-1259.1392167224028
 pg[3]=771.32342877765313
 pg[4]=-176.61502916214059
 pg[5]=12.507343278686905
 pg[6]=-0.13857109526572012
 pg[7]=9.9843695780195716e-6
 pg[8]=1.5056327351493116e-7


 int i                                     ;inicialización para ZETA
 i=0
 while i<=N
  tab_snk[i]=snk(i)
  i=i+1
 endwhile


endfunc


;
; FUNCIONA GAMMA
;
complex func gamma(complex z)
 int i
 complex x
 complex t
 complex factorial=1


 t=round(real(z))
 if real(z)==t && real(z)<=0 && imag(z)==0
     return 1/0
 endif


 while real(z)>1
    z=z-1
    factorial=factorial*z
 ;esto es para no generar un "stack overflow"
 endwhile


 if real(z)<0.5
    return (factorial*#pi)/(sin(#pi*z)*gamma(1-z))
 endif


 if real(z)>=0.5 && real(z)<=1
    z=z-1
    x=pg[0]
    i=1
    while i<9;g+2
      x=x+pg[i]/(z+i)
      i=i+1
    endwhile
    t=z+7.5;
    return factorial*sqrt(2*#pi)*t^(z+0.5)*exp(-t)*x
 endif
 print("Caso no contemplado z=",z)
 return 1
endfunc


;
;Función Zeta
;


complex func zeta(complex z)


int k
int n=this.N
if z==(0,0)
   return(-1/2)
endif


if z==(1,0)
   return 1/0
endif


if real(z)<0.5
;ecuación funcional
   return 2^z*#Pi^(z-1)*sin(#Pi*z/2)*gamma(1-z)*zeta(1-z)
endif


s1=0
s2=0
signo=1
k=1


while k<=n
 s1=s1+signo/k^z
 signo=-signo
 k=k+1
endwhile


k=n+1
while k<=2*n
 s2=s2+signo*tab_snk[k-n]/k^z
 signo=-signo
 k=k+1
endwhile


return (1 / (1 - 2 ^ (1 - z))) * (s1 + 1 / 2 ^ n * s2)
endfunc


;--------------------------------------
;Funciones auxiliares
;--------------------------------------


;
;Suma de los k primeros binomiales
;


float func snk(float k)
int N=this.n
float s=1
while k<=N
 s=s+binomial(N-k)
 k=k+1
endwhile
return s
endfunc


;
; funcion del binomio
;
float func binomial(float k)
int N
float k1
float k2
float n1
float n2
float p
float i
N=this.n
k1=N-k
if k1<k
       k2=k1
   else
       k2=k
endif


n1=N-k2+1
n2=1
i=1
p=1


while i<=k2
 p=(p*n1)/n2
 n1=n1+1
 n2=n2+1
 i=i+1
endwhile


return p
endfunc
}


;
;Fin de la clase
;


;
;Fractal
;

Código para el fractal, que ya digo que no lo es porque sale en la primera iteración

global:
  Riemann ZR=new Riemann(@n,@nz)
  ZR.N=@n
  ZR.NZ=@nz
init:
   z=ZR.Zeta(#pixel)
loop:
bailout:
;salgo en la primera iteración
false
default:
  title = "Función de Zeta de Rieman"
  int param n
      default=200
  endparam
  int param nz
      default=50
  endparam

Voy a hacer limpieza de adjuntos para poder ponerte las imágenes. En una de ellas se ven muy bien los ceros , sobre todo los que están en la recta Re(Z)=1/2

- - - Actualizado - - -

Destacando los ceros con una función para el color

#index=1-(1/(1+|z|^n))



El punto en (1,0) no es un cero, es una divergencia.

La descomposición binaria de la fase, estandrd de UF.



Saludos.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Gracias Fortuna.

- Bueno...Actualmente no tengo problemas para calcular y visualizar la funcion
Zeta de Riemann ni la funcion Zeta de Euler. (Excepto el de la precisión cuando
trabajo con valores de la componente imaginaria altos.)

Ni tampoco para visualizar los primos a partir de los 'ceros'. (Excepto que para 'ver'
un primo necesito un numero de 'ceros' del orden del primo. Por ejemplo, para determinar
los primos alrededor de '100' necesito usar al menos, 100 ceros...Para determinar los primos
alrededor del '750' necesito usar 1500 ceros...)
(Como no dispongo mas que de 1516 ceros...(hasta el 2000)...Pues ahora no puedo
determinar con cierta precisión los primos mayores que el N = 1000...y los tiempos
de maquina crecen linealmente).

- Ultimamente Alriga nos ha referenciado a una pagina de Francisco Villatoro
referenciando al metodo de Turing para calcular ceros. (Tendré que mirar
el metodo...)

- Al principio, teniamos una serie infinita de numeros primos que no se ajustaban
a ninguna funcion conocida...
Y ahora, tenemos una serie infinita de 'ceros' que tampoco se ajusta a ninguna
funcion conocida...
Pero ya sabemos que hay una relacion entre los primos y los ceros...

Ahora, podriamos preguntarnos cuantos 'ceros' hay entre 0 y un numero 'N'...
Y podriamos repetir la Historia de Gauss, Euler, Riemann y otros...
Esto nos daria otra serie infinita de 'ceros de X' que tampoco se ajustaria a ninguna
funcion conocida...Pero tendriamos una relacion 'primos' – 'ceros de Riemann' -
'ceros de X'...Y asi, hasta el infinito.

Un saludo.