Secundaria Th. Fundamental del Cálculo

[The Higgs Particle]

El Th. Fundamental del cálculo dice que si tenemos [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Pero mis dudas son los valores $a, b$, pues he visto que resolvemos de igual forma si pone, por ejemplo:

${\int}^{x }_{1} (f (t) \cdot dt)$ que si pone ${\int}^{x}_{2} (f (t) \cdot dt)$ o ${\int}^{x}_{0} (f (t) \cdot dt)$. Entonces, a la hora de aplicar este teorema, ¿cómo influyen esos valores? (además de las diferencias entre $x, {x}^{2}, 2x$ y cuál va a encima de la integral y cuál abajo [Regla de Barrow]).

Un saludo.

[javier m]

Re: Th. Fundamental del Cálculo

El Th. Fundamental del cálculo dice que si tenemos [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El teorema no dice eso

sería mas bien así: $h (x) = {\int}_{a }^{x} (f(t) dt) \to h' (x) =f (x)$, donde $a$ es un número real fijo

[Weip]

Re: Th. Fundamental del Cálculo

Entonces, a la hora de aplicar este teorema, ¿cómo influyen esos valores?

Pues... no influyen, son parámetros. Creo que no he acabado de entender la pregunta.

El teorema no dice eso

sería mas bien así: $h (x) = {\int}_{a }^{x} (f(t) dt) \to h' (x) =f (x)$, donde $a$ es un número real fijo

Bueno, puestos a enunciarlo bien deberíamos decir que si $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ es contínua entonces pasa lo que decís y que $h$ y $h'$ son contínuas en $[a,b]$.

[alexpglez]

Re: Th. Fundamental del Cálculo

Da igual el parámetro a en ese caso, la derivada de una magnitud constante, es 0. Y bueno, en el caso de la fórmula que pusiste cambio la variable en la fórmula, ya que no f(x) es constante con respecto t, otra cosa por lo que no se entiende la fórmula. Además

$$\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$$

Si a y b fueran constantes, la derivada con respecto a x sería 0, ya te habrás dado cuenta pero cuidado con lo escrito.
La fórmula como indicaron sería:

$$\frac{\dd \int_a^x f(t) \dd t}{\dd x}=f(x)$$

De hecho, por lo que preguntabas:

$$\frac{\dd \int_a^x f(t) \dd t}{\dd x}=\frac{\dd (F(x) - F(a))}{\dd x}=\frac{\dd F(x)}{\dd x}-\frac{\dd F(a)}{\dd x}=\frac{\dd F(x)}{\dd x}=f(x)$$

Puesto que la derivada de una constante F'(a)=0.
La regla de Barrow como sabes es esta:

$$\int_a^b f(x)dx=F(x) \vert_a^b=F(b)-F(a)$$

A mi no me convenció así mucho la demostración de estos teoremas por el teorema de la media, después seguir con eso en la derivada de una integral etc. y con unas ciertas definiciones iniciales "supuestas", quizá si lo vuelvo a leer me entero mejor de ello, estoy seguro, pero el caso es que yo lo veo de otra forma menos matemática y más intuitiva.
Definimos por cinemática que la velocidad (media) es:

$$\vec v=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}$$

Pero si somos listos vemos que si la velocidad no es constante, esa fórmula no nos vale, aunque en una función troceada a trozos que son funciones lineales, sí que podemos definir una velocidad para cada tramo con esa fórmula. ¿Podremos entonces intentar trocearla en infinitesimos? (PD: esto suena a locura, y lo más sorprendente es que funciona!!!)

$$\vec v=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{\dd \vec r}{\dd t}$$

Pues bien, ya tenemos encontrada la definición de derivada... Pero hay otro problema, igual que teníamos para velocidad constante:

$$\vec v=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}$$

También tenemos:

$$\Delta \vec r=\vec v\Delta t$$

$$\vec r=\vec v\Delta t + \vec r_0$$

Pero ahora bien, siempre que la velocidad varía pero es lineal a tramos, podemos hacer el truco de coger los valores de los diferentes tramos y sumar.

$$\Delta \vec r=\vec v_1\Delta _1 t + \vec v_2\Delta _2 t +\vec v_3\Delta _3 t + ...=\sum_i \vec v_i \Delta _i t$$

Podemos igual que antes tomar otro límite infinitesimal del incremento¿?

$$\Delta \vec r=\lim_{\Delta_i t \to 0} \sum_i \vec v_i \Delta _i t= \int \vec v \dd t$$

Pero y el $\vec r_0$?? Abstrayendo un poco, además se sabe que que quede ese término sumando sólo aparece en funciones polinomiales cómo la velocidad constante por ejemplo, podemos meterlo como propiedad intrínseca de la integral.

$$\vec r=\int \vec v \dd t + \vec r_0= \int \vec v \dd t + C = \int \vec v \dd t$$

Sacando la regla que para integrar hay que añadir una contante de integración.
Ahora bien, comparando esta expresión con la de la velocidad como derivada, podemos intentar juntar las expresiones a ver qué pasa.

$$\vec v=\frac{\dd (\int \vec v \dd t)}{\dd t}$$

Llegando (por fin) al teorema fundamental del cálculo. Esta expresión nos da una idea de cómo calcular una integral:

$$\int f(x) \dd x= \frac{\dd ^{-1} f(x)}{\dd x ^{-1}}$$

Aunque no se escriba así, es cómo si lo fuese, eso mismo. Por lo que podemos sacar las fórmulas correspondientes de integración a partir de la tabla de derivación.
También intuitivamente podemos pensar, la siguiente relación:

$$\dd \vec r= \vec v \dd t$$

Indicando con el símbolo alargado (que no sé como se llama), simplemente realizar el sumatorio, o sea la integral.

$$\vec r = \int \dd \vec r= \int \vec v \dd t$$

Por el teorema fundamental del cálculo tenemos efectivamente:

$$\dd \vec r= \dd (\int \vec v \dd t)=\frac{\dd (\int \vec v \dd t)}{\dd t}\dd t=\vec v \dd t$$

Alguien puede decir: "vale muy bien pero esto es cinématica, no son transportables las relaciones cinemáticas al cálculo matemático". Bueno eso va desde el punto de vista de cada uno pero, recordemos que hemos partido sólo de definiciones y de sus fórmulas sacadas intuitivamente para velocidad constante, y nada de ningún dato o fórmula que saquemos previamente de la naturaleza, si no todo lo hemos obtenido formalmente. Leí en wikipedia que Lagrange decía que la cinemática era simplemente matemática pura.

Y bueno la regla de Barrow es intuitiva creo yo, por la noción de lo que significa integral, si quieres saber por ejemplo el área que encubre una función en un tramo [a,b], es fácil ver que sería la integral evaluada en b (el área hasta b) menos la integral evaluada en a (el área hasta a). Con un poco de notación para simplificar la escritura:

$$A=F(b)-F(a)=\int^b f(x) \dd x - \int^a f(x) \dd x=\int^b f(x) \dd x + \int_a f(x) \dd x$$

$$A=\int_a^b f(x) \dd x= F(x) \vert_a^b=F(b)-F(a)$$

Y con esto último si se quiere indicar en el teorema fundamental del cálculo el parámetro a pues se puede escribir, con la regla que hemos visto.

Este es mi modo preferido de entender el teorema fundamental del cálculo, cada uno tendrá el suyo. Quizá no sea el más matemático pero si el más intuitivo desde mi punto de vista.

[The Higgs Particle]

Re: Th. Fundamental del Cálculo

Gracias alexpglez . Ya conocía a Barrow, pero aún así siempre es interesante intentar aplicar lo (poco) que se sabe a todos los ámbitos posibles, relacionarlo. Además que estaba muy completo y bien explicado.

Weip, creo recordar que te lo pregunté hace ya tiempo, pero se me ha olvidado qué significa $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ . ¿Era que la función se aplicaba a un intervalo (a, b) que pertenecían a los números reales?

[Weip]

Re: Th. Fundamental del Cálculo

Gracias alexpglez . Ya conocía a Barrow, pero aún así siempre es interesante intentar aplicar lo (poco) que se sabe a todos los ámbitos posibles, relacionarlo. Además que estaba muy completo y bien explicado.

Weip, creo recordar que te lo pregunté hace ya tiempo, pero se me ha olvidado qué significa $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ . ¿Era que la función se aplicaba a un intervalo (a, b) que pertenecían a los números reales?

Significa que tengo una función $f$ con dominio $[a, b]$ e imagen $\mathbb{R}$. Es decir, la función coge un $c \in [a,b]$ y lo envía a un elemento de $\mathbb{R}$.

Por cierto alex, ahí hay un lío de notación y no me he enterado de nada jajaja.

[alexpglez]

Re: Th. Fundamental del Cálculo

Significa que tengo una función $f$ con dominio $[a, b]$ e imagen $\mathbb{R}$. Es decir, la función coge un $c \in [a,b]$ y lo envía a un elemento de $\mathbb{R}$.

Por cierto alex, ahí hay un lío de notación y no me he enterado de nada jajaja.

¿Qué no he escrito bien correctamente?, simplemente utilizaba el símbolo de incremento, de sumatorio, de integral, de derivada y los vectores de posición y velocidad, lo único raro que he escrito ha sido:

$$\int f(x) \dd x= \frac{\dd ^{-1} f(x)}{\dd x ^{-1}}$$

Supongo que ni se suele ni se puede escribir así aunque parezca significar la integral una derivada de orden -1...
Una pregunta, simbología matemática se va enseñando en carrera¿?, es que yo también me perdí cuando escribiste eso mismo y en el instituto desgraciadamente no vemos nada excepto algunos símbolos sueltos.

[Weip]

Re: Th. Fundamental del Cálculo

¿Qué no he escrito bien correctamente?, simplemente utilizaba el símbolo de incremento, de sumatorio, de integral, de derivada y los vectores de posición y velocidad, lo único raro que he escrito ha sido:

$$\int f(x) \dd x= \frac{\dd ^{-1} f(x)}{\dd x ^{-1}}$$

Supongo que ni se suele ni se puede escribir así aunque parezca significar la integral una derivada de orden -1...
Una pregunta, simbología matemática se va enseñando en carrera¿?, es que yo también me perdí cuando escribiste eso mismo y en el instituto desgraciadamente no vemos nada excepto algunos símbolos sueltos.

No si no digo que hayas escrito algo mal, solo que es lioso porque le has cambiado la notación habitual a las cosas. Por ejemplo mezclar integrales indefinidas y definidas. Sé que no es tu intención decirlo así, que es solo por ahorrar tiempo. Aunque si me permites el comentario, lo de $\vec r=\int \vec v \dd t + \vec r_0= \int \vec v \dd t + C = \int \vec v \dd t$ no es correcto. La constante es la que es, en general no es nula y tampoco puedes meterla en la integral así porque sí. Pero bueno no era esto a lo que me refería.

En cuanto a los símbolos, pues no, no se enseña, al menos los básicos. Es decir el símbolo $\forall$ por ejemplo pues se da por sabido, pero lo que tiene que ver con conceptos nuevos como la suma directa ($\oplus$) sí te lo dicen. En el caso concreto de la función que me ha preguntado The Higgs Particle, no. Yo mismo me volví loco buscando por ahí qué significaba los primeros días.

[alexpglez]

Re: Th. Fundamental del Cálculo

No si no digo que hayas escrito algo mal, solo que es lioso porque le has cambiado la notación habitual a las cosas. Por ejemplo mezclar integrales indefinidas y definidas. Sé que no es tu intención decirlo así, que es solo por ahorrar tiempo. Aunque si me permites el comentario, lo de $\vec r=\int \vec v \dd t + \vec r_0= \int \vec v \dd t + C = \int \vec v \dd t$ no es correcto. La constante es la que es, en general no es nula y tampoco puedes meterla en la integral así porque sí. Pero bueno no era esto a lo que me refería.

Me refería ahí a que se generalizaba ese término. Para que la integral indefinida fuese:

$$\int f(x) \dd x=F(x) + C$$

Donde C dependiendo del caso toma un valor diferente.
Si lo de integrales definidas e indefinidas es verdad que he mezclado un poco..
Lo de simbología entonces veré un poco la simbología básica por mi cuenta, en clase sólo vemos sólo sustitución de números en una fórmula para obtener un resultado, algo que hace que pierdan su gracia las matemáticas, y si el problema es algo complicado apelar a un poco de álgebra definiendo incógnitas, en fin.
Lo siento me voy del tema, sólo era preguntar eso, gracias Weip.