Otras carreras Ejercicio medida de Lebesgue

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Hola a todos, este semestre he empezado una asignatura de cálculo integral donde me han introducido el concepto de medida. La teoría la entiendo pero a la hora de hacer los ejercicios me encallo.

Lo que me piden es estudiar si $\mathbb{Q}\cap [0, 1]$ es medible (en el sentido de Lebesgue) en $\mathbb{R}$ y si lo es, calcular la medida. Por internet he visto que si dos conjuntos son medibles, su intersección también. Además, he visto que si un conjunto es finito o numerable, entonces es medible. Con estos argumentos he leído que la medida de $\mathbb{Q}\cap [0, 1]$ es , pero estas propiedades no las he dado en clase así que no las puedo utilizar.

Por otro lado, yo sé que un conjunto $E$ es medible en el sentido de Lebesgue si $\forall A$ ($m^*$ denota la medida exterior de Lebesgue):

$m^*(A)=m^*(A \cap E)+m^*(A \backslash E)$

He intentado demostrarlo para mi caso concreto pero no tengo ni idea de cómo hacerlo. He pensado en organizar el conjunto en intervalos y hacer un límite, pero no estoy seguro si puedo hacer eso. ¿Alguien me puede dar alguna pista?

Gracias por adelantado.

[javier m]

Re: Ejercicio medida de Lebesgue

Vaya, teoría de la medida en calculo, me quito el sombrero ante la educación en España.

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PD: disculpa que no te haya ayudado

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Re: Ejercicio medida de Lebesgue

Vaya, teoría de la medida en calculo, me quito el sombrero ante la educación en España.

Bueno, ahora estoy haciendo una introducción solo. Cuando me toque darla de verdad creo que voy a sufrir.

He estado pensando y creo que se me ha ocurrido una forma de calcular la medida (aunque no de demostrar que el conjunto es medible, para esto necesito ayuda). He desarrollado la idea que propuse en mi primer mensaje y he hecho:

$\mathbb{Q} \cap [0, 1]= \dst \bigcup_{j=1}^{\infty} \left[ \dst\frac{1}{j}, \dst \frac{1}{j+1} \right]$

Sé que está mal porque en ningún intervalo sale el , pero bueno es una primera aproximación a la resolución del problema. Siguiendo con el razonamiento ya solo me queda hacer el límite:

$m(\mathbb{Q} \cap [0, 1])=m\left( \dst \bigcup_{j=1}^{\infty} \left[ \dst\frac{1}{j}, \dst \frac{1}{j+1} \right] \right)= \dst \lim_{j \to \infty} m\left( \left[ \dst\frac{1}{j}, \dst \frac{1}{j+1} \right] \right) = \dst \lim_{j \to \infty} \left( \left\vert{\dst\frac{1}{j+1}-\dst\frac{1}{j}}\right\vert{}\right)=0$

Más o menos esta es la idea que llevo, pero está llena de fallos... Además no sé como demostrar que $\mathbb{Q} \cap [0, 1]$ es medible.

[javier m]

Re: Ejercicio medida de Lebesgue

Pero es que $\dst \bigcup_{j=1}^{\infty} \left[ \dst\frac{1}{j+1}, \dst \frac{1}{j} \right]=(0,1)$, o sea, ni cerca.

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Re: Ejercicio medida de Lebesgue

Pero es que $\dst \bigcup_{j=1}^{\infty} \left[ \dst\frac{1}{j+1}, \dst \frac{1}{j} \right]=(0,1)$, o sea, ni cerca.

Mmm... Pero con lo que he puesto no puedes expresar los irracionales de $(0, 1)$ ¿no? Es decir, $\dst \bigcup_{j=1}^{\infty} \left[ \dst\frac{1}{j+1}, \dst \frac{1}{j} \right]$ son los racionales entre $(0, 1]$, creo. $[1, 1/2] \cup [1/2, 1/3] \cup ...$

He estado pensando cómo demostrar que el conjunto es medible pero no estoy seguro. Si lo expreso de la siguiente forma:

$\mathbb{Q} \cap [0, 1]=\dst \bigcup_{j=1}^{\infty} \dst I_j \cap \left\{ 0 \right\}$

Entonces $\dst \bigcup_{j=1}^{\infty} I_j$ sería un conjunto $F_ \sigma$ y $\left\{ 0 \right\}$ un conjunto con $m^* (\left\{ 0 \right\})=0$. Ahora aplicando el teorema de caracterización de conjuntos medibles en el sentido de Lebesgue tendría que $\mathbb{Q} \cap [0, 1]$ es medible. El problema es cómo escribo $I_j$. El problema del ya lo soluciono porque lo incluyo en $\left\{ 0 \right\}$, pero lo otro...

[javier m]

Re: Ejercicio medida de Lebesgue

Bueno, me equivoqué, es igual a $(0,1]$

Claro que metes a los irraccionales, por ejemplo en $[1,1/2]$ hay un montón de irracionales. La verdad es que cualquier intento de escribir los racionales como unión de intervalos no degenerados está destinado al fracaso, porque todo intervalo va a contener irracionales.

Este tema de medidas me parece interesante pero la verdad no lo he estudiado con todo el detalle que quisiera, pero intentaré revisar a ver si algo

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Re: Ejercicio medida de Lebesgue

Bueno, me equivoqué, es igual a $(0,1]$

Claro que metes a los irraccionales, por ejemplo en $[1,1/2]$ hay un montón de irracionales. La verdad es que cualquier intento de escribir los racionales como unión de intervalos no degenerados está destinado al fracaso, porque todo intervalo va a contener irracionales.

Este tema de medidas me parece interesante pero la verdad no lo he estudiado con todo el detalle que quisiera, pero intentaré revisar a ver si algo

Cierto, con tanto lío no me he dado cuenta. En la wikipedia pone que los racionales se pueden poner en intervalos, pero si son intervalos reales, no sé cómo.

[javier m]

Re: Ejercicio medida de Lebesgue

Lo que dice Wikipedia es que se puede poner como la unión contable de conjuntos cerrados. Y eso es fácil: $Q=\dst\cup_{q \in Q} \{ q \}$ (cada {$q$} es cerrado, y además $Q$ es contable).

Por qué no te buscas la prueba de que cada conjunto numerable tiene medida nula?

Lo otro es hallar la medida inferior y exterior. Por ejemplo en la inferior (según la definición que tengo) hay que considerar todos los subconjuntos cerrados que están contenidos en $[0,1] \cap Q$. Cada subconjunto cerrado de $[0,1] \cap Q$ es finito (toca probarlo), por tanto cada uno de ellos tiene longitud cero, haciendo que la medida inferior sea 0. Faltaría el de medida exterior.

Yo no creo que este problema sea díficil, seguramente en Rincón matematico te podrán ayudar más

[Weip]

Re: Ejercicio medida de Lebesgue

Por qué no te buscas la prueba de que cada conjunto numerable tiene medida nula?

La estoy buscando, pero no la encuentro. Me sorprende la poca información que hay de este tema.

Yo no creo que este problema sea díficil, seguramente en Rincón matematico te podrán ayudar más

No no es difícil, si es el primer problema que hago de medidas. Lo que pasa es que no sé aplicar la teoría. Lo de Rincón matemático lo había pensado, pero me da mandra porque me he de registrar y tampoco es que me sea urgente. Según me de a la tarde igual lo pregunto por allí.

[beliytxuri]

Re: Ejercicio medida de Lebesgue

Partamos de la definición de conjunto medible:

$m^*(A)=m^*(A \cap E)+m^*(A \backslash E)$, $\forall A\subset\mathbb{R}$

Como, evidentemente siempre se cumple que $A \subset (A\cap E)\cup (A\backslash E)$, por la subaditividad, tenemos que

$m^*(A)\leqslant m^*(A \cap E)+m^*(A \backslash E)$

Luego, en general, habrá que demostrar la desigualdad "$\geqslant$".

Veamos que todo conjunto $E$ con medida exterior nula es medible y, por tanto, su medida de Lebesgue es también nula.

Sea $A\subset \mathbb{R}$ cualquier conjunto. Entonces, como $A\cap E \subset E,$

$0 \leqslant m^*(A\cap E) \leqslant m^*(E) = 0.$

Por otra parte, $A \backslash E \subset A \Rightarrow m^*(A \backslash E)\leqslant m^*(A)$.

Es decir, $m^*(A \cap E)+m^*(A \backslash E) = m^*(A \backslash E) \leqslant m^*(A), q.e.d.$

Así, $E$ es medible-Lebesgue, y su medida es, por definición, su medida exterior, ésto es, cero.

Veamos ahora que todo conjunto numerable [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] tiene una medida exterior nula.
Dado un $\varepsilon > 0$, para cualquier elemento ${x}_{k}$, siempre se puede construir a su alrededor un intervalo centrado en ${x}_{k}$ y de amplitud $\varepsilon/{2}^{k}$. Así, el conjunto $E$ es recubierto por la unión de todos estos intervalos así construidos y, por la definición de medida exterior, $m^*(E)\leqslant \varepsilon, \forall \varepsilon>0$.

En consecuencia, la medida exterior de cualquier conjunto numerable es cero y, por lo viso arriba, es medible y de medida nula.

Para finalizar, como $\mathbb{Q} \cap [0, 1]$ es numerable (no son ni más ni menos que los números racionales del intervalo [0,1]), es medible y de medida nula.

Salud.

[Weip]

Re: Ejercicio medida de Lebesgue

¡Gracias! Me lo leeré detenidamente y a ver si puedo resolver mi ejercicio.