Divulgación El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

[Visitante]

El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.


Aqui hay algo que no entiendo o no funciona.
1.- Segun la lista de Odlizco, la funcion Zeta de Riemann tiene entre
s(0.5+0i) y s(0.5+2000i), 1517 ceros.
2.- (La funcion Zeta de Riemann no usa numeros primos).
3.- Si uso el producto de Euler.

$\dst{\zeta(rs,is)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-(rs,is)}}}$

para s(1.001+1.0i) y s(1.001+2000i) y los numeros primos entre 2 y 100000
(9592 primos) y un incremento de (is) de 0.01.
Esta es una funcion oscilante donde los minimos del modulo de Zeta(rs,is)
coinciden con los ceros de Riemann a partir de s(1.001+14i).
Pero...
4.1.- Solo me salen 903 minimos entre s(1.001+14i) y s(1.001+2000i).
4.2.- La mayoria de minimos coinciden con los ceros de Riemann.
4.3.- Hay minimos que no coinciden con ningun cero de Riemann.
4.4.- Hay muchos ceros de Riemann (cerca de 600) que no coinciden con
ningun minimo.
4.5.- Que pasa? El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann
no son equivalentes???
5.- Si uso el producto de Euler:

$\dst{\zeta(rs,is)=\prod_{c}\frac{1}{1-c^{-(rs,is)}}}$

sustituyendo los numeros primos (p) por los ceros de Riemann (c)
me sale otra funcion oscilante que parece que quiere ajustarse a los numeros
naturales (n) pero que no marca ningun primo...
6.- Y si uso el producto de Euler:

$\dst{\zeta(rs,is)=\prod_{m}\frac{1}{1-m^{-(rs,is)}}}$

sustituyendo los numeros primos (p) por los minimos (m)
me vuelve a salir otra funcion oscilante que tampoco se ajusta a los
numeros naturales y que tampoco marca ningun primo...
7.- Que pasa???
Estoy jugando con conjuntos infinitos y solo uso 9592 primos,
1517 ceros y 903 minimos???
No hay precisión???
Realmente el producto de Euler del punto 5 deberia marcar los numeros
naturales? O los numeros primos?
Puedo plotear las funciones de los puntos 3,5,6 y enviarlas por si a alguien
le interesa.
Un saludo.

[Visitante]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

Como no hay respuestas, voy a ampliar un poco el tema.
Si dibujo el producto de Euler para `rs´ = 1 y ´is` entre 14 y 2000
con los primos entre 2 y 100000, sale una funcion oscilante
cuyos minimos se corresponden con los ceros de Riemann.
La idea era que si dibujase una funcion inversa al producto de
Euler, usando los minimos en lugar de los primos, la funcion
deberia marcarme los primos de alguna forma...
Pero...
Los minimos del producto de Euler si se corresponden con los ceros
de Riemann pero no todos los ceros de Riemann se corresponden
con un minimo del producto de Euler. Por ejemplo:
Con `is` entre 14 y 100, hay 29 ceros y 30 minimos...?
(29 minimos coincidentes con los 29 ceros y un minimo
(el is = 17.89) no coincidente con ningun cero...)
Con `is` entre 100 y 200, hay 50 ceros y 43 minimos...??
(43 minimos coincidentes con 43 ceros y 7 ceros no coincidentes
con ningun minimo...)
Y con `is` entre 1900 y 2000, hay 92 ceros y 44 minimos...???
(44 minimos coincidentes con 44 ceros y 48 ceros no coincidentes
con ningun minimo...)
Como no entiendo porque pasa esto y la idea es usar el producto de
Euler en lugar de la funcion Zeta de Riemann...Pues aquí me he quedado.
Como el resultado empeora a medida que aumenta el valor de `is´,
podria pensar que no tengo precision, que no estoy usando suficientes
primos o que el producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann no
son exactamente coincidentes...No sé.
(Otro problema con el que me encuentro es que si elevo un numero
real ´p´ a un exponente complejo ´s´ y tomo como solucion la que
tiene k=0, me encuentro con un numero complejo `r`...
Si tomo ese numero complejo `r' y lo elevo a un exponente
complejo `1/s`, el resultado tiene infinitas soluciones y casi
nunca coincide con k=0 para devolverme el real `p`).
Otra idea es que esta hipotetica funcion inversa del producto
de Euler no me devolveria numeros primos sino numeros
naturales...como me dá la impresion???
Alguna idea?
Un saludo.

[Weip]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

Como no hay respuestas, voy a ampliar un poco el tema.

Yo nunca respondo porque no tengo ni idea pero sigo tus hilos porque son muy interesantes. A ver si alguien te puede echar una mano.

Como he dicho yo de esto no sé, pero quiero comentar una cosa que sí he entendido acerca del tema:

Otra idea es que esta hipotetica funcion inversa del producto
de Euler no me devolveria numeros primos sino numeros
naturales...

Tal como está definida la función zeta de Riemann mediante el producto de Euler, su hipotética inversa (no sé si existe, la verdad es que no tengo nivel para demostrar su existencia) debería darte números complejos con parte real mayor que uno. Dicho de forma tonta: si tienes una función que coge números complejos con parte real mayor que uno y te los envía al producto de Euler, entonces su inversa coge un producto de Euler y te lo envía a un número complejo de parte real mayor que uno.

No sé si habrá servido de algo, pero espero haberte ayudado.

[Visitante]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

Gracias a Weip. Tendré tu comentario en cuenta.
Envio grafico para ver si a alguien ve algo.
El #1 es el producto de Euler con 9592 primos.
El #2 es el producto de Euler sustituyendo los primos por
los ceros de Riemann. (1517 ceros).
El #3 es el producto de Euler sustituyendo los primos por
los 2000 primeros enteros a partir del 2.
Veo que el #1 y el #3 son similares. El #1 marca los ceros de Riemann
en los minimos del modulo. El #3 tambien los marca pero no tan claro...
La parte imaginaria tambien los marca pero con menos precision.
Del #2 no veo nada remarcable mas que el modulo parece que oscila
alrededor de 1 y la parte imaginaria alrededor de 0.
Lo que me parece claro es que la secuencia de ceros de Riemann
no es aleatoria y que forma un conjunto...la secuencia de los minimos
del producto de Euler tampoco es aleatoria y que forma un subconjunto
del anterior...La secuencia de los numeros primos es un conjunto fundamental
y la secuencia de los enteros es un super.conjunto del anterior. Y que todos
ellos estan relacionados y que ninguno es aleatorio...
He descubierto la `sopa de ajo`???
Un saludo.

[Jose D. Escobedo]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.


Aqui hay algo que no entiendo o no funciona.
1.- Segun la lista de Odlizco, la funcion Zeta de Riemann tiene entre
s(0.5+0i) y s(0.5+2000i), 1517 ceros.
2.- (La funcion Zeta de Riemann no usa numeros primos).
3.- Si uso el producto de Euler.

$\dst{\zeta(rs,is)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-(rs,is)}}}$

para s(1.001+1.0i) y s(1.001+2000i) y los numeros primos entre 2 y 100000
(9592 primos) y un incremento de (is) de 0.01.
Esta es una funcion oscilante donde los minimos del modulo de Zeta(rs,is)
coinciden con los ceros de Riemann a partir de s(1.001+14i).
Pero...
4.1.- Solo me salen 903 minimos entre s(1.001+14i) y s(1.001+2000i).
4.2.- La mayoria de minimos coinciden con los ceros de Riemann.
4.3.- Hay minimos que no coinciden con ningun cero de Riemann.
4.4.- Hay muchos ceros de Riemann (cerca de 600) que no coinciden con
ningun minimo.
4.5.- Que pasa? El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann
no son equivalentes???
5.- Si uso el producto de Euler:

$\dst{\zeta(rs,is)=\prod_{c}\frac{1}{1-c^{-(rs,is)}}}$

sustituyendo los numeros primos (p) por los ceros de Riemann (c)
me sale otra funcion oscilante que parece que quiere ajustarse a los numeros
naturales (n) pero que no marca ningun primo...
6.- Y si uso el producto de Euler:

$\dst{\zeta(rs,is)=\prod_{m}\frac{1}{1-m^{-(rs,is)}}}$

sustituyendo los numeros primos (p) por los minimos (m)
me vuelve a salir otra funcion oscilante que tampoco se ajusta a los
numeros naturales y que tampoco marca ningun primo...
7.- Que pasa???
Estoy jugando con conjuntos infinitos y solo uso 9592 primos,
1517 ceros y 903 minimos???
No hay precisión???
Realmente el producto de Euler del punto 5 deberia marcar los numeros
naturales? O los numeros primos?
Puedo plotear las funciones de los puntos 3,5,6 y enviarlas por si a alguien
le interesa.
Un saludo.

No entiendo que quieres preguntar aquí. Los productos de los numeros primos de fórmula Euler, para funcion zeta de Riemann, solamente son válidos para la parte real de ${s}>1$ y en esa región no hay ceros, asi que no se lo que estas tratando de probar. Si quieres encontrar ceros para la función zeta de Riemann deverías trabajar con una representación válida de esa función en el intervalo real de $0<s<1$ que es el mas interesante. Estudia lo que es el concepto de extensión analítica de una función porque no veo que tengas claro lo que estas haciendo.

Nota: $s = \sigma +i t$, la parte real me refiero a $\sigma$.
Saludos.

[Visitante]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

De acuerdo. La secuencia de los `ceros´ de Riemann (14.13, 21.02, 25.01, 30.42,...)
son los valores de `is´ para los cuales, y tomando `rs´ = 0.5, la funcion Zeta
de Riemann vale Zeta (0.5,is) = 0 + 0i. (Esto ya lo comprobé en un hilo
anterior en este mismo foro de Calculo).
Como:
1.- La funcion Zeta de Riemann es una prolongacion analitica a todo el plano
complejo de la formula del sumatorio de Euler o (del producto de Euler). Luego,
la funcion Zeta de Riemann deriva del producto de Euler. (O bien el producto de Euler
esta incluido en la funcion Zeta de Riemann).
2.- La secuencia de los valores de `is´ (14.13, 21.02,...) de los minimos del modulo
del producto de Euler para `rs´ = 1 y para `is´ > 14.00, coincide con parte de la secuencia
de ceros de Riemann.
3.- No puedo `jugar´ con la funcion Zeta de Riemann porque en los puntos criticos
(0.5,(14.13, 21.02,...))siempre dá valores (0 + 0i) y cualquier funcion que plantee
con estos valores me va a dar ceros, infinitos,...(Algo que no ocurre con el producto
de Euler para (1,(14.13, 21.02,...)). (No he probado si la funcion Zeta de Riemann
dá para valores (1,(14.13, 21.02,...) los mismos valores que el producto de Euler).
4.- En el producto de Euler se introducen numeros primos y en la funcion Zeta de
Riemann, no...
Por eso, prefiero `jugar´ con el producto de Euler.
En cuanto a la idea del `juego´, creo que ya esta expuesta en el mensaje #2 de este
hilo. Buscar una funcion `inversa´ del producto de Euler tal que introduciendo
los valores complejos de los minimos del producto de Euler, me devuelva,
a ser posible, un `espectro´ de los numeros primos...o de los numeros naturales...
O sea, algo asi como:

$\dst{P(rp,ip)=\prod_{is}^{}(\frac{ \zeta(1,is)}{ \zeta(1,is)-1})^{\frac{1}{(rp,ip)}}(\:is\in{}\:minimos\:de\:producto\:de\:Euler)}$

(Y esto es lo que no tengo claro ni sé que sale...ni lo he visto en ninguna parte)
Un saludo.

[Visitante]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

Voy a jugar con el producto de Euler con 1 solo numero primo.

Sé que en este caso:

$\dst{\zeta(s)= \frac{{p_1}^s}{{p_1}^s-1}}$

Si hago, por ejemplo, p_1 = (5,0i) y s = (1,25i) obtengo
Zeta(1,25i) = (0.8508,-0.08296i)

Y sé que en este caso:

$\dst{p_1(s)=(\frac{ \zeta(s)}{ \zeta(s)-1})^\frac{1}{s}}$

Si sustituyo valores, sabiendo que esta ecuacion tiene infinitas soluciones,

p_1(1,25i) = (5,0i) para k =6.

Ok. Todo correcto.

Pero si intento calcular:

$\dst{p_1(p)=(\frac{ \zeta(s)}{ \zeta(s)-1})^\frac{1}{p}}$

Por ejemplo, para:
p=(1,15i) y (Zeta(1,25i)/Zeta(1,25i)-1) = (-4.1198,2.8473i)

Vuelvo a obtener infinitas soluciones, todas son correctas pero
niguna de ellas tiene parte imaginaria = 0, y las partes reales
son crecientes...

Cual es la buena???
La k = 6???
Como distingo la que me conviene???
Un saludo.

[Jose D. Escobedo]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

Voy a jugar con el producto de Euler con 1 solo numero primo.

Sé que en este caso:

$\dst{\zeta(s)= \frac{{p_1}^s}{{p_1}^s-1}}$

Si hago, por ejemplo, p_1 = (5,0i) y s = (1,25i) obtengo
Zeta(1,25i) = (0.8508,-0.08296i)

Y sé que en este caso:

$\dst{p_1(s)=(\frac{ \zeta(s)}{ \zeta(s)-1})^\frac{1}{s}}$

Si sustituyo valores, sabiendo que esta ecuacion tiene infinitas soluciones,

p_1(1,25i) = (5,0i) para k =6.

Ok. Todo correcto.

Pero si intento calcular:

$\dst{p_1(p)=(\frac{ \zeta(s)}{ \zeta(s)-1})^\frac{1}{p}}$

Por ejemplo, para:
p=(1,15i) y (Zeta(1,25i)/Zeta(1,25i)-1) = (-4.1198,2.8473i)

Vuelvo a obtener infinitas soluciones, todas son correctas pero
niguna de ellas tiene parte imaginaria = 0, y las partes reales
son crecientes...

Cual es la buena???
La k = 6???
Como distingo la que me conviene???
Un saludo.

Me gustaría ayudarte, pero no se que estas tratando de hacer en concreto. Creo que estas usando el numero primo $p =5$ y $s=\dst \frac{5 i}{4 }$, en esta expresion $\dst \frac{5^{5i/4}}{5^{5i/4}-1 }$ que resulta $~0.5 + 0.3168966633 i$ en la casio prizm, y $~0.5+0.316896663342 i$ en la HP 50g (para la primera parte de este hilo). Tambien tienes que recordar que la función zeta de Riemann es la extensión analítica de la función del producto "infinito"de Euler, y parece que estas jugando con uno de los factores de la función de Euler que no es lo mismo que la función zeta.
¿Cuál es la pregunta para este hilo?, para poder ayudarte si esta en mis posibilidades.
Saludos

[Visitante]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

1.- Disculpa. Cuando escribo p_1 = (5,0i) y s = (1,25i) o p_1 = (5.0,0.0)
y s = (1.0,25.0) quiero decir p_1 = (5 + 0i) y s = (1 + 25i).

2.- Voy a tratar de explicarme.



2.1.- En el grafico adjunto dibujo 5 curvas mono.primos del producto de
Euler. (las del 2,3,5,7 y 101) según la formula:

$\dst{\zeta(s)= \frac{{p_1}^s}{{p_1}^s-1}}$

con su parte real y su parte imaginaria. (La parte imaginaria esta multiplicada
por 10).

2.2.- Esta claro que el producto de Euler para todos los primos es el resultado
de multiplicar todas estas curvas mono.primos.

2.3.- Los minimos del producto de Euler (o parte de los ceros de Riemann)
se dan en los valores de `is´ donde coinciden valores bajos en su parte real
y proximos a cero en su parte imaginaria de todas estas curvas mono.primos.
(Esto es un producto de complejos y no de numeros reales).

2.4.- Si yo introduzco en la formula:

$\dst{p_1(s)=(\frac{ \zeta(s)}{ \zeta(s)-1})^\frac{1}{s}}$

cualquier valor de s = (1,is) y su correspondiente valor de real.Zeta e
imag.Zeta de cualquier curva mono.primo obtengo el primo correspondiente
a la curva mono.primo. (Como esto me dá infinitas soluciones tengo que
buscar la solucion que tenga la parte imaginaria = 0, que casi nunca coincide
con la solucion k=0). (Pero es Ok).

2.5.- Si yo introduzco en la formula anterior valores de real.Zeta e imag.Zeta
no correspondientes a cualquier curva mono.primo obtengo infinitas
soluciones y ninguna de ellas tiene la parte imaginaria = 0.
(Y entonces no tengo un criterio para seleccionar la solucion `buena´).

2.6.- Si yo multiplico, por ejemplo, la curva mono.primo del 2 y la curva
mono.primo del 3, e introduzco en la formula anterior los valores correspondientes
de s = (1,is) y real.Zeta e imag.Zeta, me encuentro como en el punto 2.5 y no
tengo un criterio para seleccionar la solucion que me diga que estos valores
corresponden a la curva bi.primo del 2 y del 3...

Este es uno de los problemas con los que me encuentro...Pero voy aprendiendo
poco a poco...Que es muchísimo...Gracias.
Un saludo.

[Jose D. Escobedo]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

Hola FVPI

Recuerda que el campo de los complejos no es campo que tenga orden, tambien la fórmula de Euler $e^{ix}=\cos x + i\sin x$ nos dice que hay fuciones circulares que tienen periodo, y que es eso lo que observo en tus graficas.

Saludos

[Visitante]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

Desgraciadamente por este camino no voy a ninguna parte.
Estas curvas del grafico anterior no son curvas ´´mono.primos´´ sino
curvas ``mono.numeros´´. Es decir, cualquier numero que yo introduzca
en las formulas, sea primo o no, me dá la misma forma de la curva y me
devuelve el numero que yo he introducido.
Por ejemplo. Si yo introduzco el numero 30, me dibuja una curva similar
a cualquier otro numero primo ...(Como en los puntos 2.1 y 2.4).
Si dibujo la curva 6x5 o la curva 15x2, me dibuja una curva similar a la de
cualquier otro producto de primos...y me devuelve infinitos numeros
complejos sin ningun criterio reconocible, por mi, si es 6x5 o 15x2...
Y si dibujo la curva 2x3x5 me dibuja una curva similar a la de cualquier
otro producto triple de numeros...y lo mismo...
Y no he encontrado nada que me indique si el numero que introduzco es primo
o no...
O sea:
Sabemos cual es la secuencia de los ceros de Riemann hasta 10^18.
Sabemos como se calculan y porque sale esta secuencia. (O sea, su `espectro´).
Y que no es aleatoria.
Sabemos cual es la secuencia de los minimos del producto de Euler.
Y sabemos como se calculan y porque...(O sea, su ´espectro´. Parcialmente
coincidente con los ceros de Riemann).
Y que tampoco es aleatoria.
Y sabemos cual es la secuencia de los numeros primos hasta 10^16.
(O sea, su ´espectro´). Y que tampoco es aleatoria.
Sabemos que hay una relacion entre los ceros de Riemann, los minimos
del producto de Euler y los numeros primos.
Y no podemos deducir el ´espectro´ de los numeros primos a partir del
´espectro´ de los ceros de Riemann y/o de los minimos del producto
de Euler???
O sea:
Los ceros de Riemann y los minimos del producto de Euler que se deducen
de los numeros primos, una vez combinados, no se pueden descombinar???
Un saludo.

[Visitante]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

¿Se podria considerar el producto de Euler (y por extension, la funcion Zeta
de Riemann) un proceso de compresion de datos, (compresión de números naturales),
del que no sabriamos el proceso de descompresion?
Un saludo.

[Visitante]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

Saludos FVPI,

Quería preguntarte, ¿Sigues trabajando en esto o ya abandonaste la idea?

[Visitante]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

Gracias Maq77.
No. Dejé el tema 'aparcado' porque una vez que aplicase una funcion como el
producto de Euler sobre un conjunto de datos, para mi, era imposible deducir
del conjunto final, el conjunto original.
(Esto es parecido a lo que me ocurre en el ultimo hilo 'Holografia, entropia, agujeros negros
e Informacion'...Analizando la radiacion de Hawking de un AN, no me es posible
deducir como se formó el AN. (La Informacion está en el horizonte de sucesos y está
en la radiacion de Hawking pero me es imposible deducir la Información que entró
en el horizonte de sucesos a partir de la radiación de cuerpo negro...)).
Un saludo.

[Visitante]

Re: El producto de Euler y la funcion Zeta de Riemann.

Te lo preguntaba porque yo también estuve buscando una correspondencia entre la distribución de los números primos, el producto de Euler y la función Zeta de Riemman, aunque mi enfoque viene de intentar dar una representación a los números primos dentro de una circunferencia y no me estaba concentrando en los ceros no triviales de la recta en el punto 0.5 en R, sino que quería saber a qué o cuales números primos se podrían corresponder los ceros triviales, los que están en (-2,-4,-6.....etc.), de antemano te digo que no manejé ningún tipo de fórmula en el asunto, yo lo trabajé un poco más de forma abstracta y visual, apoyándome en programas de computación que fui creando a medida que se me ocurrían nuevas ideas.

Tengo ese proyecto en espera de encontrar a alguien con mejor formación matemática que yo para ver si se puede continuar de alguna manera, o que me indique de una vez si es pura perdedera de tiempo.

Yo también vi el asunto como un proceso de compresión y descompresión de números, solo que los situé primero sobre la circunferencia y luego en orbitas en su interior.

Si aún estas interesado busca en YouTube los videos de Números primos sobre circunferencia, de antemano te digo que fueron de los primeros videos que subí, así que no esperes que sean de excelente calidad ni mucho menos, algunos no tienen ni audio, los últimos sí, pero a lo largo de los 14 o 15 videos se puede ver más o menos como fue mi corriente de pensamiento.

Al final lo que intento entender es ¿Cuál es la relación que hay entre la función Zeta, el producto de Euler y la distribución de los números primos?, porque por fórmulas es obvio que están relacionados, pero no logro hacerme de una imagen mental de cómo es realmente dicha relación.

Saludos.