Secundaria Integral de esta función

[Visitante]

He estado intentando intentando hallar la fórmula para calcular el área de una elipse, como la función de una elipse es $f(x)=\sqrt{{a}^{ 2}-{x}^{2 }}\frac{b}{a }$ y he integrado la función así
$\int \sqrt{{a}^{ 2}-{x}^{ 2}\frac{b}{a }} dx=\frac{b}{a }\int\sqrt{{a}^{ 2}-{x}^{ 2}}dx$, se calcula la derivada de ${a}^{ 2}-{x}^{ 2}=2x$, entonces:
$\frac{b}{a }\int\sqrt{{a}^{ 2}-{x}^{ 2}}dx=\frac{b}{a }\int\sqrt{2x}dx=\frac{2b{x}^{ \frac{3}{2 }}}{3a }+c$
¿Está bien?

[pipe]

Re: Integral de esta función

$\frac{b}{a }\int\sqrt{{a}^{ 2}-{x}^{ 2}}dx$ hasta este punto iba todo bien para mi, lo que hice después fue resolver la integral por sustitución trigonométrica en este caso: $X = a$$\sin\theta$.
no lo he hecho pero la respuesta que da wolframalpha es consistente con el uso sustitución trigonométrica.
PD: si no conoces wolframalpha, esta es la pagina, en la versión free da respuestas mas no procedimientos aunque hay un truco para que de el procedimiento ( no tengo ni idea de como lo hacen ) y esta es la pagina para que la conoscas un poco ayuda mucho de verdad. http://www.wolframalpha.com/.

[visitante20160513]

Re: Integral de esta función

Lo primero es que el área bajo una función cualquiera debe calcularse siempre como una integral definida. Lo que planteas en tu correo no es más que un grave error de concepto. Sin tener conocimientos teóricos suficientes de cálculo va a ser muy difícil que calcules el área encerrada en una elipse ni ninguna otra. Te puedo resolver el problema de varias formas, pero no estoy seguro de que vaya a servir para algo.

Salu2, Jabato.

[Hansen]

Re: Integral de esta función

Hola Malevolex, como dice pipe, por el método de sustitución:

$x=a \sin u$

$dx=a \cos u du$

Sustituyendo en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\frac{b}{a }\int\sqrt{{a}^{ 2}-{a}^{ 2}{\sin}^{ 2}u} (a\cos u du)=b\int\sqrt{{a}^{ 2}(1-{\sin}^{2} u)} \cos u \dd u$

Por la identidad trigonométrica: ${\sin u}^{2}+{\cos u}^{2}=1 \to {\cos}^{2}u=1-{\sin}^{2}u$

Reemplazando:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

He omitido el cálculo de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] para que no se tan largo el mensaje.

Tenemos que:

$\sin u =\frac{x}{a}$

${\sin u}^{2}+{\cos u}^{2}=1 \to {\cos u}^{2}=1-{\sin u}^{2} \to {\cos u}^{2}=1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} \to \cos u=\frac{1}{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$

$u = arcsin(\frac{x}{a})$

Reemplazando:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El área de la elipse es:

$A=4\int_0^a \!\! \frac{b}{a}\sqrt{{a}^{ 2}-{x}^{2}} \dd x = 2ab \left. \mathrm (arcsin(\frac{x}{a})+\frac{x}{{a}^{2}}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}) \right\vert_0^a = \pi ab$

Integrando de a $a$ obtienes el área de la porción de elipse que se encuentra en el primer cuadrante, debido a la simetría, si multiplicas por 4 obtendrás el área de la elipse completa.

[Visitante]

Re: Integral de esta función

tengo que ponerme más en serio con el cálculo, gracias.

[beliytxuri]

Re: Integral de esta función

Una cuestión muy simple. Reproduzco tu pregunta:


¿Está bien?

Bueno, te puedes responder tú mismo. Deriva el resultado y a ver qué sale...

Salud.

[Weip]

Re: Integral de esta función

PD: si no conoces wolframalpha, esta es la pagina, en la versión free da respuestas mas no procedimientos aunque hay un truco para que de el procedimiento ( no tengo ni idea de como lo hacen ) y esta es la pagina para que la conoscas un poco ayuda mucho de verdad. http://www.wolframalpha.com/.

Para ver el procedimiento has de estar registrado. Aún así solo puedes ver 3 procedimientos al día (soluciones ilimitadas claro está). Para pasar este límite, pues Mathematica. Otra alternativa seía usa Mathics, que tiene menos que el Mathematica pero aún así es mucho más de lo que necesita un estudiante. Además es gratis, de navegador y las instrucciones son las mismas que en Mathematica.

[pipe]

Re: Integral de esta función

Para ver el procedimiento has de estar registrado. Aún así solo puedes ver 3 procedimientos al día (soluciones ilimitadas claro está). Para pasar este límite, pues Mathematica. Otra alternativa seía usa Mathics, que tiene menos que el Mathematica pero aún así es mucho más de lo que necesita un estudiante. Además es gratis, de navegador y las instrucciones son las mismas que en Mathematica

la verdad en mi universidad mis amigos pueden ver procedimientos ilimitados, me gusta wolfram por que es simple, porque la tengo en todos lados no solo en el computador donde la descargue, no se si tenga aplicación para smartphone.

Malevolex, en cuanto al calculo integral y diferencial solo puedo recomendar un libro que fue el que me salvo la materia, el calculo diferencial e integral de Purcell Varberg, consigues una edición en PDF en internet con un buen solucionario solo con escribir calculo de purcell, el libro me pareció excelente y tiene un buen nivel para los ejercicios, recomendado 100%.

[Visitante]

Re: Integral de esta función

Malevolex, en cuanto al calculo integral y diferencial solo puedo recomendar un libro que fue el que me salvo la materia, el calculo diferencial e integral de Purcell Varberg, consigues una edición en PDF en internet con un buen solucionario solo con escribir calculo de purcell, el libro me pareció excelente y tiene un buen nivel para los ejercicios, recomendado 100%.

Me he comprado el libro de cálculo de Michael Spivak, lo empecé hace un mes y voy por límites, la cosa es que el libro se vuelve muy tedioso y en algunas partes puede resultad aburrido... En cuanto al libro de Purcell Varberg no lo conozco, lo que tengo decidido es echarle a fondo con el cálculo de 2º bachillerato y luego volver al libro de Spivak.
Por curiosidad, si la ecuación de la elipse sacada de la integral de arriba:
$4 \pi ab$
si hacemos a=b o b=a entonces se trata de un círculo, sin embargo, la fórmula quedaría en:
$4 \pi {a}^{2 }$
Cosa que no es cierta

[angel relativamente]

Re: Integral de esta función

Por curiosidad, si la ecuación de la elipse sacada de la integral de arriba:
$4 \pi ab$
si hacemos a=b o b=a entonces se trata de un círculo, sin embargo, la fórmula quedaría en:
$4 \pi {a}^{2 }$
Cosa que no es cierta

El área de la elipse TOTAL es $\pi a b$. Si te fijas en la solución que pone Hansen ya lo multiplica por 4 antes siguiendo el argumento que te explica

[Visitante]

Re: Integral de esta función

El área de la elipse TOTAL es $\pi a b$. Si te fijas en la solución que pone Hansen ya lo multiplica por 4 antes siguiendo el argumento que te explica

No me dí cuenta.