Otras carreras Normalizar delta Dirac al cuadrado

[alexpglez]

Hola, me preguntaba si se podía calcular la constante A multiplicadora, para normalizar una delta de Dirac.

$$f(x-a)=A\delta (x-a)$$

$$\int_{x_0}^{x_f} f(x-a)^2 dx=0$$

Un saludo, gracias.

[Julián]

Re: Normalizar delta Dirac al cuadrado

Por definición la integral del delta de dirac es el escalón unitario. Pero con una pequeña corrección:

${\int}_{0}^{\infty} \delta (t -\tau) d \tau = u (t)$ (teorema de muestreo)

${\int}_{{x}_{0}}^{x} \delta (t -\tau) d \tau = u (t-{x}_{0}) - u(t - x)$

Lo anterior es una "ventana".

El delta al ser una sección de área 1 con la anchura tendiendo a cero. Es decir:

$x(t) = \frac{1}{a} (1- \frac{\left\vert{} t\right\vert{}}{a} )$ para $\left\vert{} t\right\vert{} <= a$
$x(t) = 0$ para $\left\vert{} t\right\vert{} > a$

Lo anterior es una función definida por partes, por ende la delta es:

$\delta (t) = \lim_{a \to 0} x(t)$

Por lo que no es una función sino un conjunto de funciones. Por ende no se puede aplicar el cuadrado normalmente, si te fijas en la definición anterior seguiría siendo 1 el área y por lo tanto al tender a cero la variable, su altura seguiría siendo 1. La operación potencia aplica para el peso y no para la delta:

${\int}_{{x}_{0}}^{{x}_{f}} {A}^{2} \delta (t -\tau) d \tau$ (acá ya es evidente)

Esto es debido a que la delta se utiliza para representar funciones, por ejemplo

$\dst x(t) = {t}^{2} = {\int}_{-\infty}^{\infty} {t}^{2} \delta (t- \tau) d\tau$

muy útil cuando estás tienen una discontinuidad. ya que la derivada del escalón es la delta. Pero su principal aplicación, por lo menos en electrónica es el muestreo.

[alexpglez]

Re: Normalizar delta Dirac al cuadrado

Gracias, eso mismo pensaba. Quería normalizar un paquete de ondas con condiciones iniciales siendo una delta de Dirac, me las he apañado calculando A al final, a partir de la suma que suele salir después de expandir la función en una serie. Gracias.