Secundaria Infinitésimos

[Visitante]

Tras haber visto qué son los infinitésimos rigurosamente me han surgido varias dudas, espero que me las puedan resolver:
Según se sabe que una función es un infinitésimo en x=a si se cumple que $\lim_{x \to a} f(x)=0$
Sean dos infinitésimos f(x) y g(x) en x=a, entonces si
$\lim_{x \to a} \dst\frac{f(x)}{g(x) }$=b
Si b=0 se dice que f(x) es de orden superior a g(x)
si $b=\inf$ se dice que f(x) es de orden inferior a g(x)
Si b=l son de mismo orden y si b=1 son equivalente.

Mi duda radica en qué significa a nivel divulgativo lo de orden superior, inferior, mismo orden y equivalente? y ¿Qué aplicaciones tiene?


De paso me gustaría comprobar si este límite esta bien calculado:
$\lim_{x \to 0} \dst\frac{{x}^{ 2}}{ {e}^{x }-1}$
Como ${e}^{ x}-1$~$x$, entonces:
$\lim_{x \to 0} \dst\frac{{x}^{ 2}}{ {e}^{x }-1}=\lim_{x \to 0} \dst\frac{{x}^{ 2}}{ x}=x=0$ ¿Esta bien?
Y
$\lim_{x \to 1} \dst\frac{\sin (x-1)}{{x}^{ 2}-1 }=\sin \lim_{x \to 1} \dst\frac{ (x-1)}{{x}^{ 2}-1 }=sin 1/2$ ?

[alexpglez]

Re: Infinitésimos

Hola, para ver lo de orden superior, inferior, o mismo orden, te aconsejo este ejercicio de límites sencillos de fracciones polinómicas:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^5}{x^2+x} \;\;\;\; \lim_{x \to 0} \frac{4x^2+2x}{x^2+x} \;\;\;\; \lim_{x \to 0} \frac{x^2+x}{x^4}$$

Y de paso alguna otra no polinómica:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$

¿Se ve ya lo del orden?

PD: estoy muy poco creativo con los ejercicios, pero para que se vea la teoría anterior

Sobre el límite que has planteado, yo lo haría por l'hopital:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Si:

$$\lim_{x \to a} f(x)=0 \;\;\;\; \lim_{x \to a} g(x)=0$$

O también si:

$$\lim_{x \to a} f(x)=\infty \;\;\;\; \lim_{x \to a} g(x)=\infty$$

Y evidentemente tu límite da 0.. aunque pregunto, no entiendo lo que has puesto en: "Como $e^x-1$ $x$, entonces:".

Saludos

[Alriga]

Re: Infinitésimos

De paso me gustaría comprobar si este límite esta bien calculado:
$\lim_{x \to 0} \dst\frac{{x}^{ 2}}{ {e}^{x }-1}$
Y
$\lim_{x \to 1} \dst\frac{\sin (x-1)}{{x}^{ 2}-1 }$ ?

Si no me he equivocado en los cálculos, el resultado del primer límite es 0 (correcto) y el del segundo 1/2 y no sin(1/2)
Saludos.

[Weip]

Re: Infinitésimos

Lo del orden superior e inferior indica si una función crece (o decrece) más rápidamente que otra. Por ejemplo $x$ crece menos rápidamente que $x^2$ y puedes comprobar fácilmente que $x$ es un infinitésimo de orden inferior a $x^2$ en el cero. Otro ejemplo menos trivial serían las funciones $x$ y $\sin x$ en el cero.

En cuanto a las aplicaciones, para el cálculo de límites. Siguiendo con el anterior párrafo podemos resolver el límite que te ha puesto alexpglez que es un caso muy típico: $\dst \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$. Como en el entorno del cero $\sin x \approx x$ entonces ese límite es lo mismo que calcular $\dst \lim_{x \to 0} \frac{x}{x}$, que da uno.

Edito: Mejor pongo otro ejemplo porque el anterior es circular y no me he dado cuenta ($\sin x \approx x$ en el entorno del cero sale justamente de que $\dst \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$). Considera $\dst \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\log(1+x)}$ donde $\log$ es logaritmo neperiano. Como $\sin x \approx x$ y $\log(1+x) \approx x$ entonces el anterior límite se reduce a $\dst \lim_{x \to 0} \frac{x}{x}$, que da uno. Ahora sí creo que está bien.

[Visitante]

Re: Infinitésimos

el del segundo 1/2 y no sin(1/2)

¿Por qué 1/2? Si $lim sen f(x)= sen lim f(x)$ cuando x no tiene a infinito.
Mañana hago los ejercicios que me propusieron y Weip, si son de mismo orden es que decrecen/crecen al mismo ritmo?

Pd: Creía que el signo de equivalencia era ~ y no sé como ponerlo en LATEX

[arivasm]

Re: Infinitésimos

¿Por qué 1/2?

Aplicando L'Hôpital

$\dst\lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{x^2-1}=\lim_{x\to 1}\frac{\cos(x-1)}{2x}=\frac{1}{2}$

Pd: Creía que el signo de equivalencia era ~ y no sé como ponerlo en LATEX

\sim

[Alriga]

Re: Infinitésimos

¿Por qué 1/2?
Pd: Creía que el signo de equivalencia era ~ y no sé como ponerlo en LATEX

$\dst \lim_{x \to 1} \dst\frac{\sin (x-1)}{{x}^{ 2}-1 }=\lim_{x \to 1} \dst\frac{(x-1)}{{x}^{ 2}-1 }=\lim_{x \to 1} \dst\frac{(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\lim_{x \to 1} \dst\frac{1}{(x+1)}=\dfrac 1 2$

La primera igualdad se justifica porque como te ha explicado Weip $\dst \lim_{\alpha \to 0} \dst\frac{\sin \alpha}{\alpha}=1$

Por lo tanto

$\dst \lim_{\alpha \to 0} \sin \alpha=\alpha$

(Cuando yo estudiaba me hicieron aprender de memoria "El seno tiende al ángulo cuando el ángulo tiende a cero")

Las otras igualdades son evidentes.

El símbolo de equivalencia se pone \sim y se ve así $\sim$

Saludos

[alexpglez]

Re: Infinitésimos

Lo de las equivalencias, supongo que se puede intuir haciendo una serie de taylor y despreciando términos, no?

[Visitante]

Re: Infinitésimos

$\dst \lim_{x \to 1} \dst\frac{\sin (x-1)}{{x}^{ 2}-1 }=\lim_{x \to 1} \dst\frac{(x-1)}{{x}^{ 2}-1 }=\lim_{x \to 1} \dst\frac{(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\lim_{x \to 1} \dst\frac{1}{(x+1)}=\dfrac 1 2$

La primera igualdad se justifica porque como te ha explicado Weip

$\dst \lim_{\alpha \to 0} \dst\frac{\sin \alpha}{\alpha}=1$

Por lo tanto $\dst \lim_{\alpha \to 0} \sin \alpha=\alpha$

(Cuando yo estudiaba me hicieron aprender de memoria "El seno tiende al ángulo cuando el ángulo tiende a cero")

Si, pero es eso se cumple si el centro del entorno es 0. en este caso es 1 y no se cumple así...

[Alriga]

Re: Infinitésimos

Si, pero es eso se cumple si el centro del entorno es 0. en este caso es 1 y no se cumple así...

Sí se cumple Malevolex, respira y míralo bien, en el ejercicio no es $sin x$ es $sin(x-1)$

¿Y cuánto es (x-1) cuando x tiende a 1?

$\dst \lim_{x \to 1} \sin (x-1)=(x-1)$

Saludos

- - - Actualizado - - -

Lo de las equivalencias, supongo que se puede intuir haciendo una serie de taylor y despreciando términos, no?

Es una de las maneras de demostrarlo. En el caso del seno, se ve enseguida aplicando Taylor, como tú dices:

$sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+...$

Evidentemente, si x tiende a cero, las potencia 3ª, 5ª, 7ª, ... de x son números muy pequeños que se pueden despreciar como sumandos respecto de x

Saludos.

[Weip]

Re: Infinitésimos

Mañana hago los ejercicios que me propusieron y Weip, si son de mismo orden es que decrecen/crecen al mismo ritmo?

Sí. En el anterior mensaje no lo dije y también lo puedes ver de la siguiente forma. Que $f$ sea de orden superior a $g$ cuando $x$ tiende a $a$ lo expresamos como $\dst\lim_{x \to a} \dst \frac{f(x)}{g(x)}=0$. Esto lo puedes ver así: cuando $g$ crece más rápido/es mucho más grande que $f$ el cociente $f(x)/g(x)$ es pequeño así que el límite es cero (1/2000 es pequeño ya que 2000>>1). De la misma forma si $f$ es de orden inferior $f$ crece más rápido que $g$, el cociente $f(x)/g(x)$ es muy grande y el límite se va a infinito. Finalmente $f$ y $g$ son equivalentes cuando crecen/decrecen de la misma forma.

Otra aplicación también relacionada con los límites es la del estudio de la convergencia de integrales impropias.

Pd: Creía que el signo de equivalencia era ~ y no sé como ponerlo en LATEX

En la comparación de funciones no hay una notación estándar. Son válidas $\sim, \approx, \cong$, notación $o$, el aproximadamente igual que no sé escribir en Latex, etc.

[FONT=Verdana]$\lim_{x \to 1} \sin (x-1)=(x-1)$[/FONT]

Eso da cero ¿no? $\sin(1.15-1)=0.1494...$, $\sin(1.1-1)=0.09983...$, $\sin(1.01-1)=0.009999...$, etc.

[Alriga]

Re: Infinitésimos

Eso da cero ¿no? $\sin(1.15-1)=0.1494...$, $\sin(1.1-1)=0.09983...$, $\sin(1.01-1)=0.009999...$, etc.

Gracias Weip, evidentemente que es cero, la pregunta era retórica y era para que Malevolex se diese cuenta por si mismo de su error cuando ha afirmado:

Si, pero es eso se cumple si el centro del entorno es 0. en este caso es 1 y no se cumple así...

Por otro lado, el símbolo "aproximadamente igual" se escribe así \simeq y se ve así $\simeq$

Saludos.

[Weip]

Re: Infinitésimos

Gracias Weip, evidentemente que es cero, la pregunta era retórica y era para que Malevolex se diese cuenta por si mismo de su error cuando ha afirmado:

Ah vale no lo había entendido.

Por otro lado, el símbolo "aproximadamente igual" se escribe así \simeq y se ve así $\simeq$

Ay lo he escrito mal, me he comido el principio, me refiero al más grande o aproximadamente igual. Ese que es un $<$ y la parte de abajo es $\sim$.

[Visitante]

Re: Infinitésimos

Sí se cumple Malevolex, respira y míralo bien, en el ejercicio no es $sin x$
es $sin(x-1)$

¿Y cuánto es (x-1) cuando x tiende a 1?

[FONT=Verdana]$\lim_{x \to 1} \sin (x-1)=(x-1)$[/FONT]

Saludos

Ah vale, es que como dijiste cuando tiende a 0 y automáticamente dijiste entonces cuando tiende a 1. En mi libro no aparece esa equivalencia, pero de todos modos, si tienes una equivalencia tal como tg x ~ x cuando x tiende a 0, para x tendiendo a 1 sería tg(x-1) ~ x-1? si tiende a 2 tg(x-2) ~ x-2? Así sucesivamente si queremos transformar una equivalencia que ya sabemos de un límite en un punto a otro?
Y Cuál es la diferencia entre infinitésimos de mismo orden y equivalentes?

[Alriga]

Re: Infinitésimos

si tienes una equivalencia tal como tg x ~ x cuando x tiende a 0, para x tendiendo a 1 sería tg(x-1) ~ x-1? si tiende a 2 tg(x-2) ~ x-2? Así sucesivamente si queremos transformar una equivalencia que ya sabemos de un límite en un punto a otro?

Sí, puedes pensarlo si quieres como un "cambio de variable"

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Y Cuál es la diferencia entre infinitésimos de mismo orden y equivalentes?

Creo recordar que infinitésimos equivalentes es cuando su cociente es 1
Mientras que infinitésimos del mismo orden era cuando su cociente es k, siendo k un número real distinto de Cero y de Uno.

Saludos

- - - Actualizado - - -

Ay lo he escrito mal, me he comido el principio, me refiero al más grande o aproximadamente igual. Ese que es un $<$ y la parte de abajo es $\sim$.

Weip, se escribe así \gtrsim y se ve así $\gtrsim$

Y su hómologo se escribe así \lesssim y se ve así $\lesssim$

Saludos.