Secundaria Problema Polinomio Taylor

[The Higgs Particle]

Tengo este ejercicio y la verdad es que no sé muy bien ni cómo cogerlo.

El que la velocidad sea del 3% significa que $100 \cdot \frac{d(N(t))}{dt} = 3$, pero eso de "per cápita" me despista. En fin, no sé cómo expresar $\frac{d (N(t))}{dt}$ para poder calcula el polinomio de Taylor.

[Alriga]

Re: Problema Polinomio Taylor

Creo que la velocidad de crecimiento per cápita significa que

$\dfrac{dN}{dt}=N'=0.03N$

El Polinomio de Taylor truncado a la primera potencia dice:

$f(x)=f(a)+\dfrac{f'(a)}{1!}(x-a)$

En este caso:

$N(4.1)=N(4)+\dfrac{N'(4)}{1!}(4.1-4)$

Como $N(4)=100 \ \ y \ \ N'(4)=0.03 \cdot N(4)=0.03 \cdot 100=3$

$N(4.1)=100+\dfrac{3}{1!}(0.1)=100.3$

Saludos

[Weip]

Re: Problema Polinomio Taylor

Ya que te piden una aproximación lineal, también puedes usar la ecuación de la recta tangente, el diferencial y todo eso. Lo digo porque siempre es bueno conocer varios caminos para llegar a un sitio. Aunque si te obligan a hacerlo por Taylor, pues por Taylor.

[Alriga]

Re: Problema Polinomio Taylor. Aproximación por la recta tangente

Weip, ¿me equivoco o la aproximación por la recta tangente proporciona exactamente la misma ecuación que el polinomio de Taylor de primer grado?

$f(x)-f(a)=f'(a) \cdot (x-a)$

Lo que quiero decir es que entiendo que aproximación por la recta tangente y aproximación por polinomio de Taylor de primer grado es formalmente lo mismo, porque

$f(x)=f(a)+f'(a) \cdot (x-a)$ es la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto a

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Problema Polinomio Taylor

Por lo que a mí me han explicado, sí que es la misma: la recta tangente es un polinomio de Taylor de grado 1

[Weip]

Re: Problema Polinomio Taylor

Si sí, es la misma. Lo decía porque cuando te piden una aproximación lineal uno lo que piensa es en el diferencial ya que en este contexto la única misión que tiene es justamente ofrecer una aproximación lineal. Lo veo como un método más natural. Pero que vamos, la resolución es la misma que por Taylor, no hay ni ventajas ni inconvenientes.

[Alriga]

Re: Problema Polinomio Taylor

Si quisieses resolver el problema de forma completa sin la aproximación de Taylor se haría así:

$\dfrac{dN}{dt}=0.03N$

$\dfrac{dN}{N}=0.03 \cdot dt$

Integrando en ambos lados

$\ln N=0.03 t+C$

Aplicando condiciones iniciales

$\ln 100= 0.03 \cdot 4+C$

$C=\ln 100 - 0.12$

$\ln N=0.03 t+\ln 100 - 0.12$

$N(t)=e^{0.03 t+\ln 100 - 0.12}=100 \ e^{0.03(t-4)}$

Si ahora sustituyes t=4.1 obtendrás N=100.30045 valor real, que como ves difiere poco del valor aproximado de 100.3 que habíamos obtenido.

Saludos.

[Weip]

Re: Problema Polinomio Taylor. Aproximación por la recta tangente

Lo que quiero decir es que entiendo que aproximación por la recta tangente y aproximación por polinomio de Taylor de primer grado es formalmente lo mismo

Bueno son lo mismo en cálculos, pero son construcciones totalmente diferentes.

[alexpglez]

Re: Problema Polinomio Taylor

Perdona Alriga, no sé si Higgs particle habrá visto ya estos problemas de ecuaciones diferenciales integrables, ya que por la fórmula, me parecería menos lioso:

$$N(t)=e^{0.03 t+\ln 100 - 0.12}=100 e^{0.03(t-4)}=N_0 e^{0.03(t-t_0)}=N_0 e^{0.03 \Delta t}$$

Que es más trivial su análisis dimensional.
Comentar que a parte de realizar una integral indefinida, se puede realizar una integral definida. (Dependiendo del contexto es más apropiado hacer una indefinida o una definida)

$$\frac{dN}{N}=0.03dt \;\;\; \Delta \ln N=\ln \frac{N}{N_0}=0.03 \Delta t \;\;\; N=N_0 e^{0.03 \Delta t}$$

Y si hacemos la serie de taylor evidentemente coincide.

$$N(t)=N_0\sum_{n=0}^\infty \frac{(0.03 \Delta t) ^n}{n!}$$

Para n=1:

$$N(t)=N_0(1+0.03 \Delta t)=N_0+N'_0\Delta t$$

Saludos.

[Alriga]

Re: Problema Polinomio Taylor

alexpglez, evidentemente la expresión que tú has escrito

$N(t)=100 \ e^{0.03(t-4)}$

es equivalente pero más elegante que la mía $N(t)=e^{0.03 t+\ln 100 - 0.12}$

Yo iba con la mente fija a resaltar la escasa diferencia entre el valor de real N(4.1)=100.30045 y la aproximación por Taylor-1, N(4.1)=100.3 y me he dedicado a hacer el cálculo rápidamente sin "pulir" la expresión. La incorporo al comentario.
Gracias y saludos.