1r ciclo Cambios de coordenadas para cálculos de flujo.

[MrM]

Muy buenas a todos. Resulta que tengo una duda muy básica y cortilla: no comprendo los cambios de coordenadas :/
Cuando los dimos en clase me resultaban sencillos y evidentes, pero a la hora de hacer problemas resueltos tengo algunas dudas. En concreto, en estos dos problemas (pongo también cómo los resuelve el profesor, ya que la duda hace referencia a las resoluciones).

Problema 1:
Calcúlese en coordenadas cilíndricas, el flujo del vector $\vec{A}=z$$\hat{\imath}+x\hat{\jmath}-3y^2z\hat{k}$a través de lasuperficie lateral del cilindro x2+y2=16, limitada en el primer cuadrante entre z=0 y z=5.

Solución:
Para pasar el vector a coordenadas cilíndricas, hace $z=z, x=$$\rho cos (\varphi), y= \rho sen(\varphi)$ y sustituye en $\vec{A}$. Hasta ahí todo es coherente, el problema viene en que ahora multiplica por la matriz de cambio de base, haciendo:

$\vec{A'}=$$\begin{pmatrix} cos(\varphi) & sen(\varphi) & 0 \\ -sen(\varphi) & cos(\varphi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}z \\ pcos(\varphi) \\ 3(\rho)^2sen^2(\varphi)z \end{pmatrix}$

Y ahora sí, calcula el flujo como $\int \vec{A'}d\vec{S}$.


Pasemos al problema 2:
[FONT=times new roman]Dado el vector [/FONT][FONT=times new roman]A[/FONT][FONT=times new roman]=y[/FONT][FONT=times new roman]i[/FONT][FONT=times new roman]-x[/FONT][FONT=times new roman]j[/FONT][FONT=times new roman]+yz[/FONT][FONT=times new roman]k[/FONT][FONT=times new roman], calcular el flujo del vector ∇x[/FONT][FONT=times new roman]A [/FONT][FONT=times new roman]a través de la superficie del[/FONT][FONT=times new roman] paraboloide $x^2+y^2=z$[/FONT][FONT=times new roman] limitada por el plano z=1. Comprobar el resultado aplicando el[/FONT][FONT=times new roman] teorema de Stokes. Repetirlo en c. cilíndricas.

[/FONT]Solución: cuando lo repetimos en cilíndricas, el profesor se limita a sustituir z, x e y por sus correspondientes en cilíndricas, y luego aplica directamente el rotacional, sin multiplicar por la matriz de cambio de base.


Y eso es lo que me despista completamente. En ambos sustituye primero x,y y z por sus correspondientes, pero en el primer ajercicio además multiplica por la matriz de cambio de base, y en el segundo no, ¿por qué? :/
(Sí, sé que es un post enorme para una duda muy pequeña x) ).

Muchas gracias y un saludo.

[felmon38]

Re: Cambios de coordenadas para cálculos de flujo.

Yo no creo que haya que multiplicar una matriz de cambio de base por el vector. ¿Por qué?
Saludos

[MrM]

Re: Cambios de coordenadas para cálculos de flujo.

Yo no creo que haya que multiplicar una matriz de cambio de base por el vector. ¿Por qué?
Saludos

La idea es que por mucho que sustituyamos la x, la y y la z por sus correspondientes cilíndricos, los versores siguen siendo los cartesianos, por lo que multiplicamos por la matriz de cambio de base para cambiar a los versores de cilíndricas. Hasta ahí le veo sentido, lo que no entiendo es por qué no lo hace en el segundo ejercicio. Si mete el vector en el rotacional antes de aplicar el cambio de base, está trabajando con el vector $\vec{A}=\rho sen(\varphi)\hat{\imath}-\rho cos(\varphi) \hat{\jmath}+z\rho cos(\varphi)\hat{k}$, y aún no domino los cambios de coordenadas, pero creo que no tiene sentido trabajar con un vector en coordenadas cilíndricas con versores cartesianos...
Claro que la alternativa es sustituir los versores directamente, sin aplicar la matriz de cambio de base, y debería salir lo mismo, pero el profesor no hace ni lo uno ni lo otro, por lo que supongo que se equivocó, ¿no?

[felmon38]

Re: Cambios de coordenadas para cálculos de flujo.

Leyéndote ya me he enterado por qué tu profesor multiplica por la matriz de cambio de base al vector A, ya que le resulta mas fácil calcular el vector diferencial de área en los nuevos ejes cartesianos, porque su valor es, sencillamente (r.dφ.dz,0,0)
Saludos

[Weip]

Re: Cambios de coordenadas para cálculos de flujo.

Como dice felmon38 solo se hace para que la integral quede más sencilla. Pero esto no se hace siempre, así que no te preocupes. Si te lías con el cambio de base pues quédate con la metodología del segundo ejercicio, así aseguras.

[FONT=Verdana]

pero creo que no tiene sentido trabajar con un vector en coordenadas cilíndricas con versores cartesianos...

[/FONT][FONT=Verdana]Eso es hacer un cambio de variable y dejarlo a la mitad así que sí, está mal. Tu sigue el procedimiento que te da el teorema de cambio de variable.[/FONT]