Otras carreras Definir un número irracional a partir de otro.

[garrak]

Buenas noches.
Hoy vengo con la siguiente pregunta:
¿Es posible definir un número irracional cualquiera en función de otro de la forma p=a·q+b siendo p y q irracionales y a y b enteros?
En caso negativo, ¿se puede establecer alguna relación entre los números irracionales en general?
¡Muchas gracias de antemano!

[angel relativamente]

Re: Definir un número irracional a partir de otro.

¡Claro que se puede!
Por ejemplo, $\pi=2\cdot \pi/2 + 0$, con $p=\pi, \; q= \pi/2 , \; a=2, \; b=0$.
Si te refieres a p,q completamente arbitrarios, la respuesta es que NO existen enteros a,b que verifiquen la igualdad.

[Alriga]

Re: Definir un número irracional a partir de otro.

¿Es posible definir un número irracional cualquiera en función de otro de la forma p=a·q+b siendo p y q irracionales y a y b enteros?

Sí. Si q es irracional con a y b enteros obligatoriamente p es irracional. Puedes demostrarlo por reducción al absurdo.

q es irracional.
Supongamos que p fuese racional, entonces $p=\dfrac u v$ con u, v enteros
Entonces $q=\dfrac{\dfrac{u }{v}-b}{a}$ sería racional, contradiciendo la hipótesis inicial de que era irracional.
Saludos.

Editado: vaya, mientras yo redactaba mi respuesta veo que Angel también ha respondido

[garrak]

Re: Definir un número irracional a partir de otro.

¡Muchas gracias! Y ya por curiosidad: ¿se puede demostrar que no existen?

Editado: y mientras yo escribía mi respuesta, tú has respondido también jajaja. Gracias a tí tambien Alriga, aunque no me he explicado bien y angel relativamente sin embargo, ha conseguido entenderme xD Me refería al caso en que p y q fuesen números irracionales arbitrarios.

[visitante20160513]

Re: Definir un número irracional a partir de otro.

No se puede demostrar para todos los casos posibles porque en algunos casos sí que existen $a$ y $b$ enteros tales que $p=aq+b$ con $p$ y $q$ irracionales

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: Definir un número irracional a partir de otro.

Parece que diferimos. Yo acabo de demostrar que no existen a, b enteros que cumplan $p=aq+b$ con $p$ y $q$ irracionales.

Y creo que la demostración es correcta, saludos.

angel relativamente ha dado un ejemplo de que sí. Lo que tu has demostrado que si a, b y q es irracional entonces aq+b es irracional.

[Alriga]

Re: Definir un número irracional a partir de otro.

angel relativamente ha dado un ejemplo de que sí. Lo que tu has demostrado que si a, b y q es irracional entonces aq+b es irracional.

Sí Weip, me he liado entre tanto racional e irracional y he acabado diciendo lo contrario de lo que había demostrado en el 1er comentario, ya he borrado el 2º comentario, gracias y saludos.

[Weip]

Re: Definir un número irracional a partir de otro.

Me corrijo, a y b son enteros y q irracional. Ha sido un lapsus.

[garrak]

Re: Definir un número irracional a partir de otro.

Ahora que lo pienso nadie contestó mi duda inicial totalmente. ¿Hay alguna demostración para dos números irracionales escogidos de manera arbitraria(p.e: si uno fuese pi y otro el número aúreo)?

[javier m]

Re: Definir un número irracional a partir de otro.

Ahora que lo pienso nadie contestó mi duda inicial totalmente. ¿Hay alguna demostración para dos números irracionales escogidos de manera arbitraria(p.e: si uno fuese pi y otro el número aúreo)?

No estoy seguro de si entendí, pero creo que lo preguntas es que si dados cualesquiera $p$ y $q$ irracionales, existen enteros $a$ y $b$ tales que se cumpla la relación $p=aq+b$.

La respuesta es que en general no existen números enteros (ni siquiera racionales) tales que se cumpla esa relación, ya que si existieran, el conjunto de los números irracionales sería númerable, lo que no es cierto.

Si quieres que desarrolle un poco más el argumento, avisa.

Saludos.

[Weip]

Re: Definir un número irracional a partir de otro.

Ahora que lo pienso nadie contestó mi duda inicial totalmente. ¿Hay alguna demostración para dos números irracionales escogidos de manera arbitraria(p.e: si uno fuese pi y otro el número aúreo)?

Supongo que te refieres a la duda inicial:

En caso negativo, ¿se puede establecer alguna relación entre los números irracionales en general?

Que yo sepa no se conocen relaciones no triviales generales, ya sean en términos de irracionales arbitrarios (como tu propuesta) o en términos de funciones. Las hay muy generales, pero 100% generales no. La verdad es que sería muy útil encontrar alguna como la que tú has dicho porque según como algunos problemas abiertos podrían resolverse o al menos se generarían nuevas estrategias para demostrar si un determinado número es irracional o no.

[garrak]

Re: Definir un número irracional a partir de otro.

Muchas gracias a ambos y no hace falta que amplíes, con eso ya lo he entendido perfectamente.