Secundaria integral

[Jorge 2014]

Hola, tengo:

$\int \sqrt{x^2+6x+10} \cdot dx$

Lo que he hecho es: $\int \sqrt{x^2+6x+10} \cdot dx= \int \sqrt{(x+3)^2+1} \cdot dx \to$ sea $x+3 = sin(t) \to dx = cos(t) \cdot dt$.

$\int \sqrt{sin^2(t) + 1} \cdot cos(t) \cdot dt = \int \sqrt{\frac{sin^2(2t)}{2} + cos^2(t)} \cdot dt$

No sé cómo seguir; intento que se me quede todo de la misma forma en el interior de la raíz (como todo cos(x), por ejemplo), pero no lo consigo.

[visitante20160513]

Re: integral

Prueba $x+3=tan(t)$

[Jorge 2014]

Re: integral

Si $x +3 = tg(t) \to dx = (tg^2(t) + 1) \cdot dt$, y me sale:

$\int \sqrt{tg^2(t) + 1} \cdot (1 + tg(t)) \cdot dt = \int (tg(t) + 1)^{\frac{3}{2}} \cdot dt$

Tampoco sé cómo seguir aquí, porque si tenemos $f(x)^a$ su derivada es $a \cdot f^{a-1} \cdot f'$, y en lo que a mí me sale me falta un $f$ (en este caso, un $tg(t)$) multiplicando

[Alriga]

Re: integral

$x^2+6x+10=(x+3)^2 + 1$

Prueba

1. Haciendo el cambio $x+3=t$
2. Y después $t=\sinh u$

(O si lo prefieres directamente $x+3=\sinh u$ , evidentemente)

Saludos

[Jorge 2014]

Re: integral

¿Qué es el $sinh$?

[pod]

Re: integral

¿Qué es el $sinh$?

Seno hiperbólico. Tiene una interpretación geométrica similar a la del seno trigonométrico (el de toda la vida) si haces un triángulo sobre una hipérbole.

Se puede calcular así:

$$\mathrm{sinh}\, x = \frac12 \Big( \eee{x} - \eee{-x} \Big) .$$

[Alriga]

Re: integral de una raíz cuadrada

¿Qué es el $sinh$?

Mira aquí: https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%...perb%C3%B3lica

Mira la parte de derivación e integración y en especial la propiedad: $\cosh^2 x - \sinh^2 x=1$

EDITADO

Ah, y también necesitarás saber que:

$\cosh^2 x=\dfrac{1+\cosh 2x}{2}$

Y también otras propiedades, como que

$\sinh 2x=2 \sinh x \cdot \cosh x$

Y para deshacer el cambio de variables, que la función inversa de $y=\sinh x$ es $x=\sinh^{-1} y$

Y también que:

$\cosh \ (\sinh^{-1} x)=\sqrt{x^2 +1}$

Si no os han explicado las funciones hiperbólicas, sus inversas y sus propiedades no os deberían hacer resolver esta integral, pues son necesarias para ello.

Si te sigue interesando el problema, dínoslo y pondremos la deducción completa, el resultado final es:

$\dst \int \sqrt{x^2+6x+10} \cdot dx = \dfrac 1 2 \ \left [ \ \sinh^{-1} (x+3) + (x+3) \sqrt{x^2+6x+10} \ \right ] +C$

Saludos.