Regla de Simpson

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

Entonces sigo teniendo el problema de antes: $h(x)$ me sale que tiene tres raíces (puesto que $q(x)$ y $g(x)$ se cortan en tres puntos). Por ello, $h(x)$ es de tercer grado. Y como es la resta de dos funciones, una de estas dos ha de ser de tercer grado. Es la misma contradicción de antes, y no entiendo por qué sale.

[Alriga]

Re: Regla de Simpson

En lo que dudo es que si un polinomio $P(x)$ tiene $n$ raíces reales debe o no debe ser, mínimo, de grado $n$

Sí, un polinomio que tiene n raíces reales distintas es como mínimo de grado n
Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

Tres puntos determinan un polinomio de 2º grado como dice alepglez



Hay 3 parámetros a determinar a, b, c luego necesitarás 3 puntos



Para tener 3 ecuaciones con 3 incógnitas que te permitan obtener a, b, c

Pero no estoy intentado determinar $q(x) = ax^2+bx+c$, pues ésta me la tendría que dar el enunciado. Cierto, para hallar las tres incógnitas de una parábola $(a, b, c)$ se necesitan tres ecuaciones; es decir, tres puntos. Puesto que si no sería un sistema indeterminado.

En lo que dudo es que si un polinomio $P(x)$ tiene $n$ raíces reales debe o no debe ser, mínimo, de grado $n$

[alexpglez]

Re: Regla de Simpson

No no, la parábola corta al eje 2 veces, no 3. 2 raíces.
Si claro, el método vale para toda función. Dividimos una función en n tramos. Cogemos 3 puntos para un tramo, el punto final y los dos puntos siguientes para el siguiente tramo. Es decir:
1: M_0 M_1 M_2
2: M_2 M_3 M_4
n: M_2n-2 M_2n-1 M_2n
Siendo los puntos: M_i [x_i,y_i].
Hallar una parábola que pase por M_0 M_1 M_2, una parábola tiene la forma y=Ax^2+Bx+C. Si sustituyes los tres puntos, te salen 3 ecuaciones con 3 incógnitas (A,B,C).
Ahora cuál es el área de la función aproximada¿?, tienes n parábolas, integras las n, y sumas.

Añado: Alriga, se me fue, seguramente como no he hecho ningún problema así de da un polinomio de grado n-1 que ppase por n puntos, no se me había ocurrido en el momento de escribir el primer mensaje jijiji.

Aunque sigo sin comprender del todo tu duda.

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Además, el profesor nos ha comentado que la idea que se esconde tras esto es que $q(b) = g(b)$, $q(a) = g(a)$ y $q(c) = g(c)$, donde $c = \frac{a+b}{2}$

Por lo tanto, si tienen que coincidir en tres puntos, tenemos que $h(x) = q(x) - g(x)$ ha de tener tres raíces. Es decir, ha de ser un polinomio de tercer grado, lo que implica que o $g(x)$ o $q(x)$ es de tercer grado. El polinomio $q(x)$ lo damos nosotros y, claramente, es de segundo grado. ¡Pero supuestamente el polinomio de la Regla de Simpson también!

¿Dónde está el problema?

En este caso, repiensa el problema, calcula A, B y C, para que la función $g(x)=AX^2+BX+C$ sea igual o pase por tres puntos de $q(x)=aX^2+bX+c$, efectúa después la resta para encontrar la función diferencia: h(x)

[Alriga]

Re: Regla de Simpson

Tres puntos determinan un polinomio de 2º grado como dice alepglez

$y=a x^2 + b x +c$

Hay 3 parámetros a determinar a, b, c luego necesitarás 3 puntos

$(x_1, y_1) \ (x_2, y_2) \ y \ (x_3, y_3)$

Para tener 3 ecuaciones con 3 incógnitas que te permitan obtener a, b, c
También es cierto como dice alexpglez que la aproximación de Simson que describes aproxima la función por parábolas cada 3 puntos. Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

Es que por lo que hemos dado en clase, sí que se puede aplicar a una $q(x)$ que no sea parábola.

No sé lo del grado del polinomio. Porque si tiene tres raíces (reales), supongamos $a, b, c$, ha de poder describirse como $(x-a)(x-b)(x-c)...$, debería tener mínimo grado 3, ¿no?

[alexpglez]

Re: Regla de Simpson

No recuerdo demasiado esto, pero según leí, trata de una aproximación de la función a pequeñas parábolas. Que son funciones de segundo grado no de tercero, n puntos dan una descripción de un polinomio de grado n-1, aunque ahora mismo no sé por qué, ni como calcularlo...

[The Higgs Particle]

Hola, hoy me han contado que por la Regla de Simpson podemos aproximar la integral de una función:

$\int^{x_n}_{x_0} (f(x) \cdot dx) = \frac{h}{3} \cdot (f(x_0) + 4 f(x_1) + 2 f(x_2) + ... + 2(f_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n))$

donde $h = x_n - x_0$


Si tenemos una función $q(x) = ax^2 +bx+ c$ y la queremos aproximar con un polinomio de segundo grado, $g(x)$, mediante la Regla de Simpson obtenemos:

$g(x) = \frac{(b-a)}{3} \cdot [f(a) + 4 f(\frac{a + b}{2}) + f(b)]$

Además, el profesor nos ha comentado que la idea que se esconde tras esto es que $q(b) = g(b)$, $q(a) = g(a)$ y $q(c) = g(c)$, donde $c = \frac{a+b}{2}$

Por lo tanto, si tienen que coincidir en tres puntos, tenemos que $h(x) = q(x) - g(x)$ ha de tener tres raíces. Es decir, ha de ser un polinomio de tercer grado, lo que implica que o $g(x)$ o $q(x)$ es de tercer grado. El polinomio $q(x)$ lo damos nosotros y, claramente, es de segundo grado. ¡Pero supuestamente el polinomio de la Regla de Simpson también!

¿Dónde está el problema?