1r ciclo Regla de Simpson

[The Higgs Particle]

Hola, hoy me han contado que por la Regla de Simpson podemos aproximar la integral de una función:

$\int^{x_n}_{x_0} (f(x) \cdot dx) = \frac{h}{3} \cdot (f(x_0) + 4 f(x_1) + 2 f(x_2) + ... + 2(f_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n))$

donde $h = x_n - x_0$


Si tenemos una función $q(x) = ax^2 +bx+ c$ y la queremos aproximar con un polinomio de segundo grado, $g(x)$, mediante la Regla de Simpson obtenemos:

$g(x) = \frac{(b-a)}{3} \cdot [f(a) + 4 f(\frac{a + b}{2}) + f(b)]$

Además, el profesor nos ha comentado que la idea que se esconde tras esto es que $q(b) = g(b)$, $q(a) = g(a)$ y $q(c) = g(c)$, donde $c = \frac{a+b}{2}$

Por lo tanto, si tienen que coincidir en tres puntos, tenemos que $h(x) = q(x) - g(x)$ ha de tener tres raíces. Es decir, ha de ser un polinomio de tercer grado, lo que implica que o $g(x)$ o $q(x)$ es de tercer grado. El polinomio $q(x)$ lo damos nosotros y, claramente, es de segundo grado. ¡Pero supuestamente el polinomio de la Regla de Simpson también!

¿Dónde está el problema?

[alexpglez]

Re: Regla de Simpson

No recuerdo demasiado esto, pero según leí, trata de una aproximación de la función a pequeñas parábolas. Que son funciones de segundo grado no de tercero, n puntos dan una descripción de un polinomio de grado n-1, aunque ahora mismo no sé por qué, ni como calcularlo...

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

Es que por lo que hemos dado en clase, sí que se puede aplicar a una $q(x)$ que no sea parábola.

No sé lo del grado del polinomio. Porque si tiene tres raíces (reales), supongamos $a, b, c$, ha de poder describirse como $(x-a)(x-b)(x-c)...$, debería tener mínimo grado 3, ¿no?

[Alriga]

Re: Regla de Simpson

Tres puntos determinan un polinomio de 2º grado como dice alepglez

$y=a x^2 + b x +c$

Hay 3 parámetros a determinar a, b, c luego necesitarás 3 puntos

$(x_1, y_1) \ (x_2, y_2) \ y \ (x_3, y_3)$

Para tener 3 ecuaciones con 3 incógnitas que te permitan obtener a, b, c
También es cierto como dice alexpglez que la aproximación de Simson que describes aproxima la función por parábolas cada 3 puntos. Saludos.

[alexpglez]

Re: Regla de Simpson

No no, la parábola corta al eje 2 veces, no 3. 2 raíces.
Si claro, el método vale para toda función. Dividimos una función en n tramos. Cogemos 3 puntos para un tramo, el punto final y los dos puntos siguientes para el siguiente tramo. Es decir:
1: M_0 M_1 M_2
2: M_2 M_3 M_4
n: M_2n-2 M_2n-1 M_2n
Siendo los puntos: M_i [x_i,y_i].
Hallar una parábola que pase por M_0 M_1 M_2, una parábola tiene la forma y=Ax^2+Bx+C. Si sustituyes los tres puntos, te salen 3 ecuaciones con 3 incógnitas (A,B,C).
Ahora cuál es el área de la función aproximada¿?, tienes n parábolas, integras las n, y sumas.

Añado: Alriga, se me fue, seguramente como no he hecho ningún problema así de da un polinomio de grado n-1 que ppase por n puntos, no se me había ocurrido en el momento de escribir el primer mensaje jijiji.

Aunque sigo sin comprender del todo tu duda.

- - - Actualizado - - -

Además, el profesor nos ha comentado que la idea que se esconde tras esto es que $q(b) = g(b)$, $q(a) = g(a)$ y $q(c) = g(c)$, donde $c = \frac{a+b}{2}$

Por lo tanto, si tienen que coincidir en tres puntos, tenemos que $h(x) = q(x) - g(x)$ ha de tener tres raíces. Es decir, ha de ser un polinomio de tercer grado, lo que implica que o $g(x)$ o $q(x)$ es de tercer grado. El polinomio $q(x)$ lo damos nosotros y, claramente, es de segundo grado. ¡Pero supuestamente el polinomio de la Regla de Simpson también!

¿Dónde está el problema?

En este caso, repiensa el problema, calcula A, B y C, para que la función $g(x)=AX^2+BX+C$ sea igual o pase por tres puntos de $q(x)=aX^2+bX+c$, efectúa después la resta para encontrar la función diferencia: h(x)

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

Tres puntos determinan un polinomio de 2º grado como dice alepglez



Hay 3 parámetros a determinar a, b, c luego necesitarás 3 puntos



Para tener 3 ecuaciones con 3 incógnitas que te permitan obtener a, b, c

Pero no estoy intentado determinar $q(x) = ax^2+bx+c$, pues ésta me la tendría que dar el enunciado. Cierto, para hallar las tres incógnitas de una parábola $(a, b, c)$ se necesitan tres ecuaciones; es decir, tres puntos. Puesto que si no sería un sistema indeterminado.

En lo que dudo es que si un polinomio $P(x)$ tiene $n$ raíces reales debe o no debe ser, mínimo, de grado $n$

[Alriga]

Re: Regla de Simpson

En lo que dudo es que si un polinomio $P(x)$ tiene $n$ raíces reales debe o no debe ser, mínimo, de grado $n$

Sí, un polinomio que tiene n raíces reales distintas es como mínimo de grado n
Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

Entonces sigo teniendo el problema de antes: $h(x)$ me sale que tiene tres raíces (puesto que $q(x)$ y $g(x)$ se cortan en tres puntos). Por ello, $h(x)$ es de tercer grado. Y como es la resta de dos funciones, una de estas dos ha de ser de tercer grado. Es la misma contradicción de antes, y no entiendo por qué sale.

[Weip]

Re: Regla de Simpson

Aviso que no he dado este método, pero como bien dices esto no cuadra por el motivo que dices y por este otro:

Por lo tanto, si tienen que coincidir en tres puntos, tenemos que $h(x) = q(x) - g(x)$ ha de tener tres raíces.

Tal como lo has definido $g(x)$ no depende de $x$. Es un real. Así que es imposible que $h$ tenga tres raíces porque es un polinomio de grado dos. Creo que lo mejor sería que preguntases a tu profesor porque tiene toda la pinta de que ha cometido algún lapsus o bien lo has copiado mal.

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

Bueno, en realidad las dos representarían números, pues según lo que estamos dando (integrales), lo importante es que puedes igualar las áreas que ambas funciones definen.

La cosa está en que sí que lo hablé con el profesor y le dije lo mismo que he puesto arriba, pero no me ha sabido contestar

[arivasm]

Re: Regla de Simpson

Por lo tanto, si tienen que coincidir en tres puntos, tenemos que $h(x) = q(x) - g(x)$ ha de tener tres raíces. Es decir, ha de ser un polinomio de tercer grado, lo que implica que o $g(x)$ o $q(x)$ es de tercer grado.

¿A qué llamas $q(x)$? En ningún momento has dicho qué relación tiene con la función $f(x)$.

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

$q(x)$ es la función que queremos aproximar. En este caso, como se ve, es una parábola.

No sé qué es $f(x)$, pues creo que no he llamado así a ninguna función. Si te refieres a $g(x)$, es el polinomio obtenido por Simpson. Y $h(x)$ es como he llamado a la función de la resta de g(x) y f(x)

[arivasm]

Re: Regla de Simpson

$q(x)$ es la función que queremos aproximar. En este caso, como se ve, es una parábola.

No sé qué es $f(x)$, pues creo que no he llamado así a ninguna función. Si te refieres a $g(x)$, es el polinomio obtenido por Simpson. Y $h(x)$ es como he llamado a la función de la resta de g(x) y f(x)

Como puedes ver, en tu primer mensaje llamabas f(x) a la función que se integra:

Hola, hoy me han contado que por la Regla de Simpson podemos aproximar la integral de una función:

$\int^{x_n}_{x_0} (f(x) \cdot dx) = \frac{h}{3} \cdot (f(x_0) + 4 f(x_1) + 2 f(x_2) + ... + 2(f_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n))$

....

Por lo que veo, entonces, tu pregunta se refiere a integrar una cuadrática mediante la regla de Simpson

Si tenemos una función $q(x) = ax^2 +bx+ c$ y la queremos aproximar con un polinomio de segundo grado,...

Entonces es todo muy simple: $g(x)=q(x)$ y $h(x)=0$!!

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

Ah, cierto, perdona que no te entendiera: he usado $f(x)$ sólo para enunciar la regla de Simpson, para ponerme en contexto. Pero en mis desarrollo no lo utilizo.

No han de ser iguales. Son sólo aproximaciones, como el polinomio de Taylor. Por eso me extraña.

[arivasm]

Re: Regla de Simpson

Claro que son iguales! Sería una tontería que hubiese que aproximar una parábola con otra. Puedes comprobarlo fácilmente.