Regla de Simpson

[Richard R Richard]

Re: Regla de Simpson

Aparentemente tu profesor sabe de lo que habla y no wikipedia

Me parecia que sumar el valor de 6 funciones(1 en a+4 en la media+1 en b) debian estar acompañadas de $\frac h6$ para dar una media ponderada ,por ello para sacarme la duda y no contestar mal revise la wikipedia aqui

la primer formula esta con el $\frac h6$ , lo que me motivo ha realizar el comentario. Pero si sigues leyendo la misma pagina luego da el resultado con $\frac h3$

No me quedado ahi me acorde el libro de la facultad donde lo habia leido, y hoy por suerte la tecnologia te lo permite encontrar en internet en la pagina 192 aqui aunque es una versión en ingles asegura que la fraccion es $\frac h3$ y aunque para mi es carente de toda logica revise mi versión en español y la fraccion que da es $\frac h3$

osea el metodo de aproximación es

$\dst \int_a^b f{x} \dd x\cong \frac{(b-a)}{3} \cdot [f(a) + 4 f(\frac{a + b}{2}) + f(b)]$

me callo la boca y no te lio mas

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

yo la he visto con la fraccion de un sexto no con la de un tercio de $h$

A mí me la han dado así, te lo aseguro (creo que no era el día del profesor). Pero, en cualquier caso, muchas gracias por tu respuesta

[alexpglez]

Re: Regla de Simpson

Como te dije en mi anterior mensaje, si aproximas $g(x)=Ax^2+Bx+C$ a $q(x)=ax^2+bx+c$, llamando una función $h(x)=q(x)-g(x)=(a-A)x^2+(b-B)x+(c-C)$, que se anule en algún punto, realizas el sistema y te da la solución trivial $a=A \;\;\; B=b \;\;\; C=c$, si impones que se anule en tres puntos (o más, en este caso), la solución trivial se vuelve la única. Y esto nos da que la función $h(x)=0$, o sea coinciden las otras dos en todos los puntos.

En ese caso no entiendo por qué el profesor dijo que coincidían en tres puntos, pues coincidirían en todos.

Para una función cualquiera, la aproximación es para que coincidan en 3 puntos. Pero obviamente, como se aproxima a una función cuadrática, aproximaciones de funciones lineales y de segundo grado por éste método coinciden en todos.

Esto es por la teoría de reolución de sistemas lineales, una función de grado $n-1$, tiene $n$ coeficientes, es decir, si queremos determinar que la función pase por $m$ puntos. Siendo $m<n$, van a existir varias funciones ($n-m$ distintas, si ninguna ecuación es combinación lineal de otra claro está) que pasen por esos puntos; si $n=m$ y se forman $n$ ecuaciones independientes, sólo existe una función que pase por esos puntos; y si $m>n$ y las ecuaciones son linealmente independientes, no existe tal función.
Por lo tanto, para nuestro caso de una función de segundo grado, necesitamos 3 puntos distintos para poder hacer la aproximación.


El método, como ya dije, consiste en dividir una función en $n$ tramos y coger 3 puntos para cada tramo (siendo todos los puntos equidistantes), coincidiendo el punto final del tramo anterior con el primer punto del tramo siguiente. Es decir:
Tramo 1: $M_0 \;\;\; M_1 \;\;\; M_2$
Tramo 2: $M_2 \;\;\; M_3 \;\;\; M_4$
Tramo $n$: $M_{2n-2} \;\;\; M_{2n-1} \;\;\; M_{2n}$
Siendo $2n$ puntos de la función: $M_i (x_i,y_i)$
El problema ahora se trata de hallar $n$ parábolas que pasen por $M_{i} \;\;\; M_{i+1} \;\;\; M_{i+2}$. Una parábola tiene la forma $y=Ax^2+Bx+C$. Si sustituyes los tres puntos, te salen 3 ecuaciones con 3 incógnitas $(A,B,C)$, para cada parábola.
Ahora cuál es el área de la función aproximada¿?, tienes n parábolas, integralas y sumas.
Y la aproximación se vuelve mejor cuantas más subdivisiones hagas.

La historia de los métodos de aproximación es la siguiente. Primero vino el método de aproximar a "cortar" la función en varios tramos, para calcular el área que forman los rectángulos pequeños, o calcular el área que forman los rectángulos más grandes, y posteriormente hacer una media de los dos, que equivale a calcular el área de los trapecios que se forman, o sea aproximar a función lineal. Y el método de Simpson es una aproximación de segundo grado, pero bastante parecido a los demás, sólo que más preciso. Después se puede extender esto para hallar métodos mejores, aproximando con un polinomio de grado mayor, o por funciones de taylor.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Regla de Simpson

El método Simpson es un método de calculo numérico que permite calcular una aproximación de una integral definida en un intervalo cerrado, cuando no conoces la primitiva de la función , esto sucede en funciones muy complicadas que no tienen metodo para hallar la primitiva $Q(x)=\int q(x) \dd x$

y por ello no puedes hacer $\dst \int^b_a q(x) \dd x = Q(b)-Q(a)$


Si recuerdas que el cálculo de la integral es el área bajo la curva y que se aproxima por la suma del área muchos rectángulos de altura igual a la función en el punto y ancho igual a un $\Delta x$ que lo puedes hacer tan pequeño como quieras para mejorar precisión del calculo, que seria

$\Delta x =h= \dfrac{b-a}n$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Bueno este método lo que hace es dar una mejora al calculo del área de cada pequeño rectángulo. Es decir es realmente útil cuando divides el intervalo de la integral [a.b] en muchos (n) intervalos mas pequeños y a esos pequeños intervalos los aproximas por la regla Simpson entonces tendrás una sumatoria de n integrales aproximadas, que será a la vez una muy buena aproximación de la integral total. Para que el método sea útil q(x) debe ser calculable numéricamente para todo $x\in[a.b]$

si $h= \dfrac{b-a}n$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Este metodo tiene importancia en el calculo numerico de soluciones de integrales por metodos iterativos de computadoras, pues converge mas rapido al resultado, a la vez es mas preciso con menos operaciones y menos tiempo de ordenador.

yo la he visto con la fraccion de un sexto no con la de un tercio de $h$

saludos

[Weip]

Re: Regla de Simpson

Bueno, en realidad las dos representarían números

Un polinomio de segundo grado no es un número ni tampoco lo representa. Y que $g$ sea un número es determinante para la definición de $h$ y determinante para tu duda. En todo caso opino igual que arivasm. Como no conozco el método no me atrevía a afirmarlo pero es cierto que la mejor aproximación de un polinomio de segundo grado mediante un polinomio de segundo grado es el mismo polinomio de segundo grado. En fin, el caso es que tus apuntes dicen cosas contradictorias, así que no te puedo ayudar más.

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

En ese caso no entiendo por qué el profesor dijo que coincidían en tres puntos, pues coincidirían en todos. En fin, se le iría en ese momento. Gracias!

[arivasm]

Re: Regla de Simpson

Es parecido a lo que sucede con el polinomio de Taylor, o los polinomios de interpolación: es una aproximación si la función en cuestión no es un polinomio (en este caso de grado 2 o inferior). Pero si lo es, la aproximación es el propio polinomio!

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

La cosa es que según la regla debería salir una aproximación y no ser iguales. Si son iguales, algo falla

- - - Actualizado - - -

Algo falla en el desarrollo que hemos hecho en clase, especifico

[arivasm]

Re: Regla de Simpson

Claro que son iguales! Sería una tontería que hubiese que aproximar una parábola con otra. Puedes comprobarlo fácilmente.

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

Ah, cierto, perdona que no te entendiera: he usado $f(x)$ sólo para enunciar la regla de Simpson, para ponerme en contexto. Pero en mis desarrollo no lo utilizo.

No han de ser iguales. Son sólo aproximaciones, como el polinomio de Taylor. Por eso me extraña.

[arivasm]

Re: Regla de Simpson

$q(x)$ es la función que queremos aproximar. En este caso, como se ve, es una parábola.

No sé qué es $f(x)$, pues creo que no he llamado así a ninguna función. Si te refieres a $g(x)$, es el polinomio obtenido por Simpson. Y $h(x)$ es como he llamado a la función de la resta de g(x) y f(x)

Como puedes ver, en tu primer mensaje llamabas f(x) a la función que se integra:

Hola, hoy me han contado que por la Regla de Simpson podemos aproximar la integral de una función:

$\int^{x_n}_{x_0} (f(x) \cdot dx) = \frac{h}{3} \cdot (f(x_0) + 4 f(x_1) + 2 f(x_2) + ... + 2(f_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n))$

....

Por lo que veo, entonces, tu pregunta se refiere a integrar una cuadrática mediante la regla de Simpson

Si tenemos una función $q(x) = ax^2 +bx+ c$ y la queremos aproximar con un polinomio de segundo grado,...

Entonces es todo muy simple: $g(x)=q(x)$ y $h(x)=0$!!

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

$q(x)$ es la función que queremos aproximar. En este caso, como se ve, es una parábola.

No sé qué es $f(x)$, pues creo que no he llamado así a ninguna función. Si te refieres a $g(x)$, es el polinomio obtenido por Simpson. Y $h(x)$ es como he llamado a la función de la resta de g(x) y f(x)

[arivasm]

Re: Regla de Simpson

Por lo tanto, si tienen que coincidir en tres puntos, tenemos que $h(x) = q(x) - g(x)$ ha de tener tres raíces. Es decir, ha de ser un polinomio de tercer grado, lo que implica que o $g(x)$ o $q(x)$ es de tercer grado.

¿A qué llamas $q(x)$? En ningún momento has dicho qué relación tiene con la función $f(x)$.

[The Higgs Particle]

Re: Regla de Simpson

Bueno, en realidad las dos representarían números, pues según lo que estamos dando (integrales), lo importante es que puedes igualar las áreas que ambas funciones definen.

La cosa está en que sí que lo hablé con el profesor y le dije lo mismo que he puesto arriba, pero no me ha sabido contestar

[Weip]

Re: Regla de Simpson

Aviso que no he dado este método, pero como bien dices esto no cuadra por el motivo que dices y por este otro:

Por lo tanto, si tienen que coincidir en tres puntos, tenemos que $h(x) = q(x) - g(x)$ ha de tener tres raíces.

Tal como lo has definido $g(x)$ no depende de $x$. Es un real. Así que es imposible que $h$ tenga tres raíces porque es un polinomio de grado dos. Creo que lo mejor sería que preguntases a tu profesor porque tiene toda la pinta de que ha cometido algún lapsus o bien lo has copiado mal.