1r ciclo Ejercicio Gradiente

[The Higgs Particle]

Voy a intentar aplicar todo lo que me estáis enseñando con este ejercicio, a ver si me sale:



a) Primer apartado

$\frac{\partial f}{\partial y}_{(x_0,y_0)} = 3x^2y^2 -1 \to \frac{\partial f}{\partial y}_{(2,3)} = 107$
(Esto significa que si nos desplazamos infinitesinalmente, en la dirección del vector $\hat{\jmath}$, la función aumenta $107$ unidades).



b) Segundo apartado

$\nabla \vec{f}_{(x,y)} = (\frac{\partial f }{ \partial x}, \frac{\partial f}{\partial y }) = (3x^2 +2y^3x, 3x^2y^2 -1)$
Por lo que $\nabla \vec{f}_{(2,3)} = (120, 107)$

Si nos desplazáramos en la dirección de este vector ($\vec u$ $||$ $\nabla \vec f$), la función aumentaría lo más rápidamente posible (la pendiente sería máxima). Sin embargo, necesitamos que disminuya lo más rápidamente posible:

$D_f = \nabla \vec f_{(x,y)} \cdot \vec u = |\nabla \vec f_{(x,y)}| \cdot 1 \cdot cos(\alpha)$

Esto se consigue, como se ve fácilmente en la expresión, con $cos(\alpha) = -1 \to \alpha = 180^o$; es decir, hemos de desplazarnos en sentido contrario al vector gradiente, de forma que:

$D_f = - |\nabla \vec f_{(x,y)}| \to \vec u = - (\frac{120}{\sqrt{120^2+107^2}}, \frac{107}{\sqrt{120^2+107^2}}) \to \vec u = (-0.75, -0.67)$

Y este vector forma con la horizontal $221.78^o$, siendo esta la dirección que hemos de tomar.



c) Tercer apartado

Nos estamos desplazando dirección Norte; es decir, nuestro vector es $\vec u = (0,1)$. Por lo tanto: $D_f = \nabla \vec f_{(x,y)} \cdot \vec u = (120, 107) \cdot (0, 1) = 107$

Es decir, con cada desplazamiento infinitesimal que realizamos en dicha dirección, la función se incrementa en $107$ unidades. O dicho de otro modo: como $D_f > 0 \to f$ aumenta.

[alexpglez]

Re: Ejercicio Gradiente

a) Primer apartado

$\frac{\partial f}{\partial y}_{(x_0,y_0)} = 3x^2y^2 -1 \to \frac{\partial f}{\partial y}_{(2,3)} = 107$
(Esto significa que si nos desplazamos infinitesinalmente, en la dirección del vector $\hat{\jmath}$, la función aumenta $107$ unidades).



b) Segundo apartado

$\nabla \vec{f}_{(x,y)} = (\frac{\partial f }{ \partial x}, \frac{\partial f}{\partial y }) = (3x^2 +2y^3x, 3x^2y^2 -1)$
Por lo que $\nabla \vec{f}_{(2,3)} = (120, 107)$

Si nos desplazáramos en la dirección de este vector ($\vec u$ $||$ $\nabla \vec f$), la función aumentaría lo más rápidamente posible (la pendiente sería máxima). Sin embargo, necesitamos que disminuya lo más rápidamente posible:

$D_f = \nabla \vec f_{(x,y)} \cdot \vec u = |\nabla \vec f_{(x,y)}| \cdot 1 \cdot cos(\alpha)$

Esto se consigue, como se ve fácilmente en la expresión, con $cos(\alpha) = -1 \to \alpha = 180^o$; es decir, hemos de desplazarnos en sentido contrario al vector gradiente, de forma que:

$D_f = - |\nabla \vec f_{(x,y)}| \to \vec u = - (\frac{120}{\sqrt{120^2+107^2}}, \frac{107}{\sqrt{120^2+107^2}}) \to \vec u = (-0.75, -0.67)$

Y este vector forma con la horizontal $221.78^o$, siendo esta la dirección que hemos de tomar.



c) Tercer apartado

Nos estamos desplazando dirección Norte; es decir, nuestro vector es $\vec u = (0,1)$. Por lo tanto: $D_f = \nabla \vec f_{(x,y)} \cdot \vec u = (120, 107) \cdot (0, 1) = 107$

Es decir, con cada desplazamiento infinitesimal que realizamos en dicha dirección, la función se incrementa en $107$ unidades. O dicho de otro modo: como $D_f > 0 \to f$ aumenta.

Otros te dirán mejor, pero voy a ser un poco tiquismiquis.
En el primer apartado, puedes optar por escribir estas dos maneras. No puedes mezclar, si lo evalúas en x_0 y y_0 no puedes escribir y y x en la fórmula.
$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2y^2 -1$
$\frac{\partial f}{\partial y}_{(x_0,y_0)} = 3x_0^2y_0^2 -1$

En el tercer apartado no puedes escribir que en un desplazamiento infinitesimal se incrementa la función 107 unidades. No está bien expresado, un infinitesimal es algo "muy pequeño" y no puede dar un número finito. No me sé expresar bien.., pero seguramente entiendes el por qué no está bien expresado.

En el segundo apartado, si escribes esto, con un $\vec u$ que inventas. Deberías escribir antes, que forma un ángulo desconocido y es un vector normal.
$D_f = \nabla \vec f_{(x,y)} \cdot \vec u = |\nabla \vec f_{(x,y)}| \cdot 1 \cdot cos(\alpha)$

Por lo demás, (aunque aviso no he hecho ningún ejercicio de este tipo), creo que está bien.

[The Higgs Particle]

Re: Ejercicio Gradiente

En el tercer apartado no puedes escribir que en un desplazamiento infinitesimal se incrementa la función 107 unidades. No está bien expresado, un infinitesimal es algo "muy pequeño" y no puede dar un número finito. No me sé expresar bien.., pero seguramente entiendes el por qué no está bien expresado

Era una versión (supongo que mala) de:

Es decir si sale 8, eso indica que la pendiente de la recta tangente es 8 en la dirección de $\hat{v}$. O en otras palabras que tras un incremento infinitesimal de la función en dirección de $\hat{v}$ el cambio es 8.

Lo del vector normal lo daba por hecho, puesto que no puede salir la derivada direccional mayor que el gradiente. Pero tienes razón, nunca está de más ponerlo. Gracias