Secundaria Integrales y derivadas

[pilimafiqui]

1)Me dicen que F(x) es una función que vale -1 si x es menor que cero y vale 1 si x es mayor o igual que cero. Me preguntan si F(x) es una primitiva de f(x)=0
Yo creo que si porque la derivada de F(x) es cero
2)Me piden la derivada de F(x) que es una integral entre x y 3 de e^t . sen^2 dt
La verdad es que hace mucho tiempo que no hago este tipo de ejercicios y los tengo olvidados.
Cualquier ayuda es buena. Gracias.

[Richard R Richard]

Re: Integrales y derivadas

en 1 )si F(x) es una primitiva de de f(x) entonces

$F(x)=\dst \int f(x) \dd x= \dst \int 0 \dd x = 0 + C$

Luego C no puede tomar dos valores -1 y 1 a la vez por eso F(x) no puede ser la primitiva de f(x)

una función con esas características es $F(x)=\dfrac{|x|}x$ su derivada excepto en $x=0$ es 0 , pero no es continua en $x=0$ y el reciproco no será cierto.

en 2) aplica el teorema fundamental del cálculo

Saludos $\mathbb {R}^3$

[alexpglez]

Re: Integrales y derivadas

1), No, fíjate que $F(x)=sgn(x)=\frac{\vert x \vert}{x}$
Tu razonamiento no es válido por el motivo que f(x)=0; F(x)=C, y F(x) no es constante en todo su tramo.
2) Recuerdas que decía el teorema fundamental del cálculo diferencial-integral¿?

- - - Actualizado - - -

PD: me adelantó Richard
Saludos a ambos.

[pilimafiqui]

Re: Integrales y derivadas

Si aplico el teorema entonces me queda que la derivada es: e^x . sen^2 x

[Alriga]

Re: Integrales y derivadas

Si aplico el teorema entonces me queda que la derivada es: e^x . sen^2 x

No, si miras el enlace Teorema Fundamental del Cálculo verás:

$\dst \dfrac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \ dt=f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

Como en el enunciado dices "la integral entre x y 3", yo interpreto que "x" es el límite inferior de la integral y "3" es el límite superior:

$\dst \dfrac{d}{dx} \int_{x}^{3} e^t \sin^2 t \ dt=e^3 \sin^2 3 \cdot 0 - e^x \sin^2x \cdot 1=-e^x \sin^2 x$

Saludos.

[pilimafiqui]

Re: Integrales y derivadas

Gracias.
Puse mal en el enunciado los valores de integración

[Alriga]

Re: Integrales y derivadas

Puse mal en el enunciado los valores de integración

Pues entonces, si la integral es entre "3" y "x", cambia el signo $\dst \dfrac{d}{dx} \int_{3}^{x} e^t \sin^2 t \ dt=e^x \sin^2x \cdot 1-e^3 \sin^2 3 \cdot 0=e^x \sin^2 x$

Saludos

[arivasm]

Re: Integrales y derivadas

Aunque la explicación está más que completa, por si esto ayuda a pilimafiqui con el primer apartado le recordaré que si una función es derivable entonces es continua. En este caso F(x) no es continua en x=0, luego no es derivable en dicho punto. Por tanto, no puede ser una primitiva de f(x)=0.