Secundaria Límites de integración

[The Higgs Particle]

Pregunta rápida: ¿se pueden poner vectores en los límites de integración?

Por ejemplo: $W = \vec{F} \cdot \dst \int^{\vec{r_f}}_{\vec{r_0}} d\vec{r}$

[Alriga]

Re: Límites de integración

Yo diría que no. Normalmente si tienes un vector variable que quieres integrar es porque las componentes del vector son función de una variable independiente. Por ejemplo el vector aceleración se integra para obtener el vector velocidad, integrando cada una de las componentes, (en realidad es hacer 3 integrales). Por ejemplo:

$\vec a=2t \vec i+(t+1) \vec j-t \vec k$

$\dst \vec v=\int_0^3 \vec a dt=\int_0^3 (2t \vec i+(t+1) \vec j-t \vec k) dt$

Los limites de la integral son para la variable independiente de la que dependen las componentes de vector.

Y cuando se hace por ejemplo una integral triple de volumen, en realidad lo que se hace es 3 integrales encadenadas una detrás de otra, cada una de ellas con una única variable independiente.

Y es que no veo que sentido podría tener lo que tú planteas.

Saludos.

[Weip]

Re: Límites de integración

Añadiendo un poco más a lo dicho por Alriga, el caso concreto del trabajo es una notación para referirse a la integral $\dst\int^b_a \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}'(t)dt$. Como ves no hay problema en los límites de integración ni en el producto escalar, que tampoco estaría permitido hacer en una integración normal y corriente.

[visitante20160513]

Re: Límites de integración

Yo creo que una expresión como la que sigue sí tendría sentido:


$\displaystyle\int_{\vec v_1}^{\vec v_2} d\vec v=\vec v_2-\vec v_1$


aunque he de reconocer que no es habitual su uso. El problema se plantea cuando se desea calcular una expresión de la forma:


$\displaystyle\int_{\vec v_1}^{\vec v_2}f(\vec v)d\vec v=F(\vec v_2)-F(\vec v_1)$


no es habitual trabajar con funciones en las que la variable independiente sea un vector, y mucho menos el cálculo de sus primitivas, aunque yo no me atrevo a afirmar tan tajantemente que una expresión como esa no tenga sentido, habría que meditarlo un poco más despacio.

El caso del trabajo podría expresarse como:

$W=\displaystyle\int_{\vec r_1}^{\vec r_2} F(\vec r)d\vec r$

expresión que para mí sí tiene sentido, al menos a primera vista. Los límites de integración serían los vectores de posición de las posiciones entre las que se calcula el trabajo, aunque no sé muy bien especificar como debería hacerse el cálculo de la primitiva cuando se desea aplicar la regla de Barrow.

Salu2, Jabato.

[Alriga]

Re: Límites de integración

Yo creo que una expresión como la que sigue sí tendría sentido:

$\displaystyle\int_{\vec v_1}^{\vec v_2} d\vec v=\vec v_2-\vec v_1$

En mi opinión no lo tiene. No veo que esa igualdad pueda demostrarse con ninguna de las definiciones de integral, (Riemann, Lebesgue,...) que yo conozca.
Pero si alguien tiene una demostración, evidentemente cambiaré de opinión.
Saludos.

[Weip]

Re: Límites de integración

En el fondo creo que decimos los mismo: a esa integral se le puede dar sentido en cuanto a notación para una expresión correcta (como en el caso del trabajo) pero no lo tiene si la pensamos en el contexto de la integral de Riemann del que a mi suponer está refiriéndose The Higgs Particle implícitamente.

[visitante20160513]

Re: Límites de integración

Voy a aventurar una hipótesis de trabajo, aunque debéis tener en cuenta que estoy improvisando así que un poco de tranquilidad. Supongamos que la expresión:

$f(\vec r)d\vec r$

definida en un espacio R^3, en general será una expresión diferencial de las variables, $x,y,z$ y admitamos ahora que dicha expresión resulta ser una diferencial exacta. Resultaría entonces que:

$f(\vec r)d\vec r=dF(\vec r)=A(x,y,z)dx+B(x,y,z)dy+C(x,y,z)dz$

Sabemos entonces que su integración debe ser independiente del camino recorrido, con lo que:

$\displaystyle\int_{\vec r_1}^{\vec r_2}f(\vec r)d\vec r=F(\vec r_2)-F(\vec r_1)$

¿Esto no tiene sentido para nadie? A mi sí me parece que lo tiene.

Salu2, Jabato.

[Richard R Richard]

Re: Límites de integración

Por lo general

$\vec{F} \cdot \dst \int^{\vec{r_f}}_{\vec{r_0}} d\vec{r}\neq \dst \int^{\vec{r_f}}_{\vec{r_0}} \vec{F} \cdot d\vec{r}$

Comparto que no es comun verlo así escrito , pero creo que lo que dice Jabato solo tiene sentido , si se trata de aplicaciones lineales.

tengamos en cuenta que THP planteo

$W = \vec{F} \cdot \dst \int^{\vec{r_f}}_{\vec{r_0}} d\vec{r}$


donde $\vec{F}$ ya esta fuera de la integral por lo que es una aplicación lineal

Luego $W = \vec{F} \cdot\vec{r_f}- \vec{F} \cdot\vec{r_o}$



Si $\vec F$ no es una función lineal en la base de $\vec r$ entonces no siempre sera válida

además como indican alriga y weip es mucho mas difícil de visualizar , y conviene separar la integral en la suma de varias integrales o plantear una integral doble o triple...


$\dst\int_{\vec v_1}^{\vec v_2} d\vec v=\left (\int_{ vx_1}^{ vx_2} d vx,\int_{ vy_1}^{ vy_2} d vy,\int_{vz_1}^{ vz_2} d vz \right )=$$(vx_2-vx_1),(vy_2-vx_1),(vz_2-vz_1)=\vec v_2-\vec v_1$

Saludos $\mathbb R^3$

[Al2000]

Re: Límites de integración

Pregunta rápida: ¿se pueden poner vectores en los límites de integración?

Por ejemplo: $W = \vec{F} \cdot \dst \int^{\vec{r_f}}_{\vec{r_0}} d\vec{r}$

La integral que pones, como caso particular en que $\vec F$ es constante, es perfectamente legítima y el resultado es el que habría que esperar, $W = \vec F \cdot (\vec r_1 - \vec r_0)$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[visitante20160513]

Re: Límites de integración

Pongamos un ejemplo sencillo para ver que funciona. Sea:

$f(\vec r)d\vec r=d|\vec r|=dr=d\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\displaystyle\frac{xdx+ydy+zdz}{r}=\frac{\vec r d\vec r}{r}$

que de acuerdo al desarrollo realizado es una diferencial exacta. Si ahora realizamos la integración entre dos puntos cualesquiera, $\vec r_1$ y $\vec r_2$, tendremos una integral de la forma:

$I=\displaystyle\int_{\vec r_1}^{\vec r_2}dr=r_2-r_1$

siendo el resultado la diferencia de los módulos de ambos vectores. Faltaría comprobar que dicha integral resuelta por el método convencional devuelve el mismo valor, para cualquier camino que que una los puntos inicial y final:

$I=\displaystyle\int_1^2\frac{xdx+ydy+zdz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

para lo cual basta solo comprobar que el campo es conservativo.

$\displaystyle\mathbf{Rot}\left(\frac{x\vec i+y\vec j+z\vec k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=\displaystyle\mathbf{Rot}\left(\frac{\vec r}{r}\right)=\nabla\times\left(\frac{\vec r}{r}\right)=\nabla\times \vec u_r=0$

Os lo dejo como ejercicio por si alguien quiere entretenerse, pero ya os puedo asegurar que se cumple.


Salu2, Jabato.

[Richard R Richard]

Re: Límites de integración

En particular, jabato y $\mathcal A \ell$, no estoy completamente seguro si es valido en coordenadas cilindricas o esféricas... por eso hago la salvedad al abordar el tema mas generalmente.



Saludos $\mathbb R^3$

[visitante20160513]

Re: Límites de integración

Se cumple, al menos lo que yo expuse, en cualquier tipo de coordenadas ya que el uso de unas coordenadas u otras no modifica el resultado de la integral. Por otro lado no estoy de acuerdo en que lo expuesto solo se cumpla para aplicaciones lineales, lo expuesto se cumple siempre que se cumpla la condición que ya expliqué, es decir que el campo a integrar sea conservativo.

Salu2, Jabato.

[The Higgs Particle]

Re: Límites de integración

En el fondo creo que decimos los mismo: a esa integral se le puede dar sentido en cuanto a notación para una expresión correcta (como en el caso del trabajo) pero no lo tiene si la pensamos en el contexto de la integral de Riemann del que a mi suponer está refiriéndose The Higgs Particle implícitamente.

¿Qué es una integral de Rienmann y por qué en este caso no se podría aplicar esa notación y en otras sí?

[Weip]

Re: Límites de integración

¿Qué es una integral de Rienmann y por qué en este caso no se podría aplicar esa notación y en otras sí?

Es la única integral que conoces. Como en el colegio y en algunas carreras no se dan más aparte de la de Riemann propia y la impropia, se le llama integral a secas. Pero hay muchas más (infinitas de hecho) y se usan en otros contextos, donde sí conviene especificar el "apellido" de la integral. El caso es que tu siempre integras especificando un intervalo $[a,b]$ con $a$ y $b$ reales. Los "intervalos de vectores" no existen, así que esas notaciones se usan para representar integrales que sí tienen sentido. En el caso del hilo, por definición, $\dst \int^{\vec{r_f}}_{\vec{r_0}} d\vec{r}=\dst\int^b_a \vec{r}'(t)dt$ (el integrando es la derivada de $\vec{r}$; lo digo porque no se nota mucho la comilla). A la hora de calcular es como si tuvieras un "intervalo de vectores" y por eso no se comenta.

[Alriga]

Re: Límites de integración

Aunque las aplicaciones de la integrales se originan el Newton y Leibniz, eran prácticamente un conjunto de recetas sin rigurosidad matemática.
La primera definición completamente rigurosa de integral a partir del concepto de límite es proporcionada por Riemann, y es la que se estudia en el bachillerato.
Hay otra definición más general y más moderna, (a través del concepto de Medida de Lebesgue), que es la Integral de Lebesgue, y que se suele aprender en 1º ó 2º de carrera.

¿Qué es una integral de Rienmann y por qué en este caso no se podría aplicar esa notación y en otras sí?

Si te refieres a la notación de poner vectores en los límites de integración, continuo pensando que no es aceptable formalmente, ni a partir de la definición de integral Riemann ni de Lebesgue.

Saludos.