1r ciclo Ejercicio de demostración de sucesiones de números reales

[oganesson]

Buenas a todos.

Ando con ejercicios de sucesiones de números reales y no consigo averiguar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa.

Sea el término general de una sucesión $a_{n}=\left\lbrace\dfrac{n+a}{2n+b}\right\rbrace$ tal que, si $a<b$, entonces $a_{n}$ es creciente.

Hay que demostrar si esta proposición es verdadera o falsa. Yo lo que he hecho ha sido desarrollar el cociente $\dfrac{a_{n}}{a_{n+1}}$ e intentar averiguar si es mayor o menor que uno. Esto es, que si ese cociente fuera mayor que 1, significaría que la sucesión es decreciente y si fuera menor que uno, sería creciente.

Por tanto: $\dfrac{\dfrac{n+a}{2n+b}}{\dfrac{n+1+a}{2(n+1)+b}}$ y desarrollando se llega a $\dfrac{2n^2+2n+2an+bn+2a+2b}{2n^2+2n+2an+bn+b+ba}$. Si observamos, hay varios términos del numerador y el denominador que son comunes por lo tanto el cociente se podría expresar así $\dfrac{x+2a+2b}{x+b+ba}$ tal que $x=2n^2+2n+2an+bn$. Por lo tanto para que $a_{n}$ sea creciente, $(2a+2b)<(b+ba)$ y por tanto $\dfrac{2a+2b}{b+ba}<1$. Hasta aquí creo que he llegado bien. Pero no se como relacionar que a sea menor que b para que esa expresión se pueda seguir desarrollando.

Algunas aclaraciones:
-El ejercicio no especifica que a o b sean números negativos ni positivos y tampoco especifica que pertenezcan al conjunto de enteros, racionales o reales. Tan solo dice que $a<b$.

¿Alguien podría ayudarme por favor? Se lo agradecería mucho. Gracias de antemano.

Un saludo.

[Richard R Richard]

yo intentaría probar que

$a_{n+1}-a_n>0 \,\forall n>0$

$\dfrac{n+1+a}{2(n+1)+b}-\dfrac{n+a}{2n+b}>0$

a lo que arribas es que

$\dfrac{b-2a}{(2(n+1)+b)(2n+b)}>0$

el denominador es siempre mayor que cero si $a>0$ y $b>0$

luego solo interesa que

$b-2a>0\quad \to \quad b>2a \neq a$

luego no siempre es creciente....en esas condiciones , como encontraste una condicion en que no es crecient la proposición es falsa.

[oganesson]

Muchas gracias por tu rapidez!

[oganesson]

Buenas.

Acabo de darme cuenta de una cosa. En el último paso, es decir, el paso en el que afirmas que como $b-2a>0$, entonces $b>2a\not =a$ ¿se afirma verdaderamente que la proposición es falsa? Me explico. El hecho de probar que $b>2a$ no implica que $b>a$ sea falso; ya que por ej. Si $a=1 \wedge b=6$, entonces $b>2a \wedge b>a$ son verdaderos. Por tanto sigues sin demostrar que a no sea menor que b, lo cual implica que la proposición del principio sigue sin demostrar.

Además, la proposición es unidireccional, es decir, te pide que demuestres que si $a<b$, entonces $a_{n}$ es creciente y no el caso de que si $a_{n}$ es creciente, entonces $a<b$.

No sé si habrá algo que estoy obviando pero creo que tiene lógica lo que he puesto. Corrígeme si me equivoco.

Un saludo.

[Richard R Richard]

Hola has probado con a = 2 y b=3?
$b>a$ pero $b<2a$

la sucesión te queda

N	$a_N$
1	$\dfrac35$
2	$\dfrac47$
3	$\dfrac59$
4	$\dfrac6{11}$
5	$\dfrac7{13}$

Es siempre decreciente,
Al hallar al menos un solo contraejemplo la proposición es falsa.

[Alriga]

Hay un contraejemplo todavía más sencillo, a=1 y b=2 Se cumple a<b

$a_n=\dfrac{n+1}{2n+2}=\dfrac{n+1}{2(n+1)}=\dfrac 1 2 \quad \forall n\in \mathbb N$

La sucesión queda $a_n=$ 1/2, 1/2, 1/2, ... que no es creciente

Otra forma de ver que no todas las sucesiones pueden ser crecientes, si calculamos el límite:

$\dst \lim_{n\to \infty} a_{n}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{n+a}{2n+b}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{1+\dfrac a n}{2+\dfrac b n}=\dfrac{1+0}{2+0}=\dfrac 1 2 \qquad \forall a\in \mathbb R \ \forall b \in \mathbb R$

Obtenemos que el límite es 1/2 para todo a, b

Luego cualquier combinación de a, b que haga que un término de la sucesión sea mayor que 1/2 no podrá generar una sucesión estrictamente creciente, puesto que si fuese estrictamente creciente no podría converger a 1/2 partiendo de un término mayor de 1/2

Como (por ejemplo), la combinación a=4, b=5 (a<b) da un primer término $a_0=\dfrac 4 5 > \dfrac 1 2$ la sucesión no puede ser estrictamente creciente y converger a 1/2, por lo tanto es un contraejemplo a la hipótesis del enunciado:

Saludos.

[oganesson]

Vale tenéis razón ambos. Gracias!