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Ejercicio de demostración de sucesiones de números reales

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  • 1r ciclo Ejercicio de demostración de sucesiones de números reales

    Buenas a todos.

    Ando con ejercicios de sucesiones de números reales y no consigo averiguar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa.

    Sea el término general de una sucesión tal que, si , entonces es creciente.

    Hay que demostrar si esta proposición es verdadera o falsa. Yo lo que he hecho ha sido desarrollar el cociente e intentar averiguar si es mayor o menor que uno. Esto es, que si ese cociente fuera mayor que 1, significaría que la sucesión es decreciente y si fuera menor que uno, sería creciente.

    Por tanto: y desarrollando se llega a . Si observamos, hay varios términos del numerador y el denominador que son comunes por lo tanto el cociente se podría expresar así tal que . Por lo tanto para que sea creciente, y por tanto . Hasta aquí creo que he llegado bien. Pero no se como relacionar que a sea menor que b para que esa expresión se pueda seguir desarrollando.

    Algunas aclaraciones:
    -El ejercicio no especifica que a o b sean números negativos ni positivos y tampoco especifica que pertenezcan al conjunto de enteros, racionales o reales. Tan solo dice que .

    ¿Alguien podría ayudarme por favor? Se lo agradecería mucho. Gracias de antemano.

    Un saludo.
    Última edición por oganesson; 08/10/2019, 07:50:15. Motivo: Mejorar codigo LATEX

  • #2
    yo intentaría probar que





    a lo que arribas es que



    el denominador es siempre mayor que cero si y

    luego solo interesa que



    luego no siempre es creciente....en esas condiciones , como encontraste una condicion en que no es crecient la proposición es falsa.

    Comentario


    • oganesson
      oganesson comentado
      Editando un comentario
      Muchas gracias por tu rapidez!

  • #3
    Buenas.

    Acabo de darme cuenta de una cosa. En el último paso, es decir, el paso en el que afirmas que como , entonces ¿se afirma verdaderamente que la proposición es falsa? Me explico. El hecho de probar que no implica que sea falso; ya que por ej. Si , entonces son verdaderos. Por tanto sigues sin demostrar que a no sea menor que b, lo cual implica que la proposición del principio sigue sin demostrar.

    Además, la proposición es unidireccional, es decir, te pide que demuestres que si , entonces es creciente y no el caso de que si es creciente, entonces .

    No sé si habrá algo que estoy obviando pero creo que tiene lógica lo que he puesto. Corrígeme si me equivoco.

    Un saludo.

    Comentario


    • #4
      Hola has probado con a = 2 y b=3?
      pero

      la sucesión te queda
      N
      1
      2
      3
      4
      5
      Es siempre decreciente,
      Al hallar al menos un solo contraejemplo la proposición es falsa.

      Comentario


      • #5
        Hay un contraejemplo todavía más sencillo, a=1 y b=2 Se cumple a<b



        La sucesión queda 1/2, 1/2, 1/2, ... que no es creciente

        Otra forma de ver que no todas las sucesiones pueden ser crecientes, si calculamos el límite:



        Obtenemos que el límite es 1/2 para todo a, b

        Luego cualquier combinación de a, b que haga que un término de la sucesión sea mayor que 1/2 no podrá generar una sucesión estrictamente creciente, puesto que si fuese estrictamente creciente no podría converger a 1/2 partiendo de un término mayor de 1/2

        Como (por ejemplo), la combinación a=4, b=5 (a<b) da un primer término la sucesión no puede ser estrictamente creciente y converger a 1/2, por lo tanto es un contraejemplo a la hipótesis del enunciado:

        Saludos.
        Última edición por Alriga; 10/10/2019, 10:11:13. Motivo: Presentación
        "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

        Comentario


        • #6
          Vale tenéis razón ambos. Gracias!

          Comentario

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