1r ciclo Determina la ortogonalidad del polinomio de Chebyshev

[Enrique1990]

Muestre que $T_{0}(x)=1$, $T_{1}(x)=x$, y $T_{2}(x)=2x^{2}-1$ son mutuamente ortogonales en el intervalo $(-1,1)$ con respecto a la función de peso $r(x)=\left (1-x^{2} \right )^{-1/2}$. Estos polinomios son los primeros tres del conjunto de polinomios de Chebyshev.

Sugerencia: $x=cos (\theta)$

Tengo problemas para avanzar con este problema.

He hecho esto, pero no sé si está bien.

$$\left \langle T_{0},T_{1} \right \rangle=\int_{-1}^{1}\left (1-x^{2} \right )^{-1/2}(1)(x)dx=0$$

$$\left \langle T_{0},T_{2} \right \rangle=\int_{-1}^{1}\left (1-x^{2} \right )^{-1/2}(1)(2x^{2}-1)dx=0$$

$$\left \langle T_{1},T_{2} \right \rangle=\int_{-1}^{1}\left (1-x^{2} \right )^{-1/2}(x)(2x^{2}-1)dx=0$$

Nose si este problema se resuelve de esta manera, también como utilizo la sugerencia $x=cos(\theta )$

[pod]

Tienes que mostrar que esas tres integrales dan cero. El cambio de variables con el coseno te da una sugerencia para resolver las integrales.

[Alriga]

Observa que la 1ª

$x(1-x^2)^{-1/2}$

como es una función impar f(-x)=-f(x) su integral en un intervalo simétrico respecto de cero, por ejemplo [-1, 1] debe ser cero. (Te puedes ahorrar hacer la integral debido a que el integrando es una función impar e integras en un intervalo simétrico respecto del origen)

la tercera

$x(2x^2-1)(1-x^2)^{-1/2}$

también es impar, luego integral entre [-1, 1] es cero sin necesidad de resolverla.

Sin embargo la segunda

$(2x^2-1)(1-x^2)^{-1/2}$

es una función par, f(-x)=f(x)

De esta no te libras de hacer la integral, debes hacerla y demostrar que sale cero. Haz el cambio de variable que te sugieren y resuélvela, (te saldrá también cero)

Si no te sale, nos lo dices.

Saludos.