Cálculo de flujo de campo

[Anonymous]

Consideremos la superficie
$A=\{\overrightarrow{r}(x, y) = x\overrightarrow{u_{x}} + y\overrightarrow{u_{y}} + y\overrightarrow{u_{z}} |<br /> x \in [0, 1], y \in [0, 1]\}$
y el campo vectorial
$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r}) = z\overrightarrow{u_{z}}$ .

Calcular la integral de E sobre la superficie dada (flujo del campo).

La cuestión es que no sé como expresar el $\overrightarrow{dA}$ para poder seguir. ¿Alguien podría ayudarme?

Gracias de antemano.

[teclado]

Hola,

El vector r indica la posición de cada punto de la superficie. Para visualizarlo, la superficie es el plano $z-y=0$, y un vector normal a ella es $\hat{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left (\hat{u_z}-\hat{u_y}\right )$.

La forma más general de una superficie dada en esta forma es

$S=\left \{\vec{r}=f(\lambda_1,\lambda_2)\hat{u_x} + g(\lambda_1,\lambda_2)\hat{u_y} + h(\lambda_1,\lambda_2)\hat{u_z},\ \lambda_1\in\left [\alpha_1,\alpha_2\right ],\ \lambda_2\in\left [\beta_1,\beta_2\right ]\right \}$

A medida que varían $\lambda_1$ y $\lambda_2$ el punto se mueve por la superficie, recorriendo, un camino dado por:

• $\dst\vec{\delta r_1} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \lambda_1}d\lambda_1$, si se varía $\lambda_1$
• $\dst\vec{\delta r_2} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \lambda_2}d\lambda_2$, si se varía $\lambda_2$

La superficie del paralelepípedo cuyos lados son estos recorridos viene dada por el producto vectorial

$\vec{dS} = \vec{\delta r_1}\times\vec{\delta r_2}$

Que es lo que buscamos.

En este caso, $\lambda_1=x$ y $\lambda_2=y$, por lo que procedemos obteniendo los diferenciales:

• $\vec{\delta r_x} = \hat{u_x}dx$
• $\vec{\delta r_y} = \left (\hat{u_y} + \hat{u_z}\right )dy$

Y el diferencial de superficie te queda

$\vec{dA}=\left (\hat{u_z}-\hat{u_y}\right )dxdy$

Cuando vayas a integrar tendrás que hacer $\vec{E}\vec{dA}=zdxdy$. Para continuar recuerda que la superficie tiene la ecuación $z-y=0$, es decir, $z=y$.

Un saludo.

[Anonymous]

Muchísimas gracias me ha quedado muy claro