Otras carreras Diferencial de una función

[danielandresbru]

Hola tengo problemas con el diferencial de una función, antes tenia entendido que el diferencial era una variación infinitamente pequeña, pero ahora que estoy estudiando el cálculo de varias variables he visto que se usa como diferencial de una función la matriz jacobiana, que hasta donde tengo entendido es la aplicación lineal de una función.

Pero mi duda es que es lo que significa que sea una aplicación lineal, lo que yo creo que sería es que si Jf es la aplicación lineal de la función f, entonces f(x,y)=Jf*(x,y).(No se si esté en lo correcto). Y también quería saber si hay alguna demostración de esto.
Muchas gracias de antemano.
Saludos

[visitante20160513]

Re: Diferencial de una función

La linealidad de una función establece dos propiedades fundamentales que viene a resumirse en la transparencia de la función respecto de la suma y el producto por un escalar:

1.-$f(x + y) = f(x) + f(y)$

2.-$f(kx) = kf(x)$

En consecuencia la derivación y la diferenciación de funciones son aplicaciones lineales, así como la integración de funciones.

Salu2, Jabato.

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Por otro lado es un error pensar que una variación diferencial es una variación infinitamente pequeña. Según Euler el único número infinitamente pequeño (hablo solo en el campo de los números reales) es el cero. Los diferenciales son números reales exactamente igual que los incrementos, la magia se produce cuando se hace que dichos números tiendan a 0, es decir en los procesos de paso al límite. En general se suele entender que un diferencial es un incremento cuyo destino será un proceso al límite en el que dicho diferencial tenderá a anularse pero todas las ecuaciones que se suelen escribir con los diferenciales son igualmente válidas:

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\qquad\qquad\int ydx=\lim_{\Delta x \to 0}\sum y\Delta x$

para valores pequeños o grandes, expresiones perfectamente generalizables a otras en sistemas multivariable. Por ejemplo las ecuaciones:

$y=f(x)\quad\to\quad dy=y'dx\qquad\qquad z=F(x,y)\quad\to\quad dz=F_xdx+F_ydy$

ecuaciones perfectamente válidas para cualesquiera valores reales de las variables $x,y,z,dx,dy,dz$

Salu2, Jabato.

[Jaime Rudas]

Re: Diferencial de una función

$z=F(x,y)\quad\to\quad dz=F_xdx+F_ydy$

¿Aquí $F_x$ es lo mismo que $\partial F / \partial x$?
¿No debería ser $F'_x$ y $F'_y$?
Nota bene: esto lo estudié hace mil años, así que bien puedo estar confundido.

[Weip]

Re: Diferencial de una función

estudiando el cálculo de varias variables he visto que se usa como diferencial de una función la matriz jacobiana, que hasta donde tengo entendido es la aplicación lineal de una función.

En alguna asignatura de álgebra lineal te deben haber explicado que para calcular la imagen de un vector por una aplicación lineal puedes multiplicar una matriz (la asociada a la aplicación lineal) por el vector. Es decir, que si $x$ es un vector, $f$ es lineal y $M$ la matriz asociada a $f$ entonces $f(x)=Mx$. Dado que el diferencial es una aplicación lineal, tiene una matriz asociada, la matriz jacobiana, de forma que $df_a(x)=J(f)_ax$. Después se puede demostrar que esta matriz está formada por las derivadas parciales de la función diferenciable en cuestión.

Pero mi duda es que es lo que significa que sea una aplicación lineal, lo que yo creo que sería es que si Jf es la aplicación lineal de la función f, entonces f(x,y)=Jf*(x,y).(No se si esté en lo correcto).

Aquí me gustaría incidir en una cosa. El concepto de linealidad no pertenece al cálculo diferencial, sino al álgebra lineal. Aquí tenemos una estructura, la de espacio vectorial, con dos operaciones: suma y producto por un escalar. Las aplicaciones lineales son las que respetan estas dos operaciones.

Finalmente fíjate en la importancia de exigir que el diferencial sea una aplicación lineal: si no lo fuera, todas las funciones serían diferenciables automáticamente.

¿Aquí $F_x$ es lo mismo que $\partial F / \partial x$?
¿No debería ser $F'_x$ y $F'_y$?
Nota bene: esto lo estudié hace mil años, así que bien puedo estar confundido.

Sí, es lo mismo, es otra notación habitual. La notación con primas no podrías usarla porque se confunde con la derivada en una variable. Si la quieres usar para derivar en un punto $a$ deberías definir nuevas funciones $g(u)=F(a+ue_1)$ y $h(v)=F(a+ve_2)$, derivarlas en el cero y entonces sí escribir $g'$ y $h'$. Pero bueno puedes usar la notación que quieras siempre que la expliques con antelación.

[visitante20160513]

Re: Diferencial de una función

No, no debería ser, eso representa las derivadas parciales respecto de las variables $x$ e $y$ y tu interpretación es correcta.

Salu2, Jabato.