Superficies abiertas o cerradas

[cogujada]

Hola buenas, tengo una duda sobre integrales de superficies. El problema es que hay distintos métodos para llevar a cabo una integral de superficie. Se puede hacer por la definición, o usando el Teorema de Gauss o el de Stokes.

En el de Stokes no hay duda, si te dicen algo así como:

Calcule la integral: ∫_S rot(F)·dS

Se puede utilizar el teorema de Stokes.



Es con Gauss donde me surgen los problemas, ya que no sé cuándo se puede utilizar o no. Porque Gauss se utiliza sobre superficies cerradas, pero claro, a veces es díficil identificar si la superficie es cerrada o abierta, ya que es algo bastante ambiguo. Por ejemplo, aquí, ¿la superficie es cerrada (se puede utilizar el teorema de Gauss) o abierta (hay que hacer la integral de superficie por la definición)?



Sea F(x,y,z)= (x², y², 0)

Halle ∫_S F·dS donde S es la semiesfera x² + y² + z² < 1 ; z>0



¿Aquí, qué creeis? Yo creo que es una superficie abierta, pero no sé.

¿Me podéis dar algún truco, orientación, etc. para saber más fácilmente si es una superficie abierta o cerrada?

Muchas gracias

[arivasm]

Superficie cerrada es aquélla que delimita un volumen.

La semiesfera que te indican es un volumen (fíjate en las desigualdades), pues se trata de la intersección entre la esfera delimitada por la superficie $x^2+y^2+z^2=1$, es decir una esfera de radio 1 y centrada en el origen, y la mitad del espacio por debajo del plano XY.

Por cierto, el enunciado debería decir que S es la superficie que delimita, pues esas ecuaciones no son las de una superficie sino, como he dicho, de un volumen.

[cogujada]

Entonces podríamos aplicar el teorema de Gauss, porque es una superficie cerrada ¿no?

[arivasm]

Claro. El teorema de Gauss, en su forma integral, solo se puede aplicar sobre superficies que delimitan un volumen.