Divulgación Demostración del volumen de una esfera

[inakigarber]

Buenos días, tratando de recordar esas demostraciones que antes sabia y he olvidado he tratado de deducir el volumen de una esfera.$V=\frac{4\pi R^3}{3}$
Se que se deduce a partir de la integral $V=\pi\int{\sqrt{(R^2-r^2)^2dr}}$, definiéndola entre r=R y r=-R.
Yo he tratado de deducirlo de la siguiente manera;

He debido equivocarme en algo. Veamos;
Empiezo por; área $A=\pi r^2$
derivada del volumen

$$dV=\pi r^2dr$$

ahora bien; $r=R Sen\theta$, por tanto, $dr=R Cos\theta d\theta$
Sustituyo en 1 $dV=\pi R^3 Sen^2 \theta Cos\theta$Integrando y sacando las constantes; $V=\pi R^3\int{Sen^2 \theta Cos \theta d\theta}$
Haciendo $\omega=Sen \theta$, por tanto $d\omega=Cos \theta d\theta$
Entonces; $V=\frac{\pi R^2 \omega }{3}=\frac{\pi R^2 Sen^2 \theta }{3}$
Como $Sen \theta=\frac{r}{R}$, obtengo;
$V=\frac{\pi R^3}{3}$, que al definirlo entre r=R y r-R me da $V=\frac{\pi R^2}{3}-\frac{-\pi R^2}{3}$$V=\frac{2\pi R^3}{3}$, lo cual es incorrecto. ¿es un problema de mal planteamiento, o me he equivocado en los límites de la integración?
Saludos y gracias.

[visitante20160513]

Re: Demostración del volumen de una circunferencia.

Puedes hacerlo de muchas formas, usando coordenadas esféricas, integrando por capas, como volumen de revolución, etc. pero tal y como lo has hecho no está bien.

Salu2, Jabato.

[inakigarber]

Re: Demostración del volumen de una circunferencia.

Puedes hacerlo de muchas formas, usando coordenadas esféricas, integrando por capas, como volumen de revolución, etc. pero tal y como lo has hecho no está bien.

Salu2, Jabato.

Gracias por tu respuesta, pero me gustaría saber que es lo que esta mal y corregirlo.
Saludos y gracias.

[Alriga]

Re: Demostración del volumen de una circunferencia.

Iñaki, ahora no tengo tiempo de profundizar, pero como pista observa que $\pi \ r^2 \ dr$ no puede ser un diferencial de volumen.

En todo caso, una rodaja cilíndrica tendría como base el círculo de área $\pi \ r^2$ pero como altura un $dz$ Con el $dz$ perpendicular al círculo.

Sería algo como $dV=\pi r^2 dz$

Mira a ver si con esto te sirve, saludos.

[inakigarber]

Re: Demostración del volumen de una circunferencia.

Iñaki, ahora no tengo tiempo de profundizar, pero como pista observa que $\pi \ r^2 \ dr$ no puede ser un diferencial de volumen.

En todo caso, una rodaja cilíndrica tendría como base el círculo de área $\pi \ r^2$ pero como altura un $dz$ Con el $dz$ perpendicular al círculo.

Sería algo como $dV=\pi r^2 dz$

Mira a ver si con esto te sirve, saludos.

Yo también ahora ando un poco pillado de tiempo, creo que lo he entendido. El elemento dz es la derivada de $Z=R Cos \theta$, $dZ=-RSen\theta$. Mas adelante, con algo mas de tiempo voy a ver si desarrollo algo.
Saludos y gracias.

[alexpglez]

Re: Demostración del volumen de una circunferencia.

Hola, aunque es un poco raro cambiar de variable al ángulo, ten en cuenta que el área, el radio de la rodaja de esfera, también depende del ángulo.

- - - Actualizado - - -

Además, ten cuidado porque los cambios de variable en una integral múltiple no se pueden hacer tan a la ligera. Si me permites, continúo por donde lo dejaste:

$$A=\pi p(z)^2$$

El volumen es:

$$V=\int_{-R}^{R}\pi p(z)^2dz$$

Ahora queda la duda de como varía p, $p(z)$ es el radio de la circunferencia en altura $z$, pero si haces un dibujo en el plano p-z, aparece un triángulo rectángulo, siendo la hipotenusa el radio de la esfera, de catetos la altura y el radio de la circunferencia. Entonces:

$$R^2=p^2+z^2 \;;\;\;\; p(z)^2=R^2-z^2$$

Con lo que la integral queda:

$$V=\pi\int_{-R}^{R} R^2-z^2dz=\pi(R^2z-\frac{z^3}{3})\vert_{-R}^R=\pi(R^3-\frac{R^3}{3})- \pi(-R^3+\frac{R^3}{3})=\frac{4\pi R^3}{3}$$

Otra demostración, habría sido calcular a cajón desde la integral triple, en un tipo de coordenadas en los que la intgración fuese sencilla.

[inakigarber]

Re: Demostración del volumen de una circunferencia.

Buenas noches;
Creo que ahora si me sale. Veamos;

$$a=\pi r^2,$$

donde r es variable entre 0 y R que es el radio máximo de la circunferencia.
Lo que hacia yo en el post inicial no tiene sentido. Para obtener un volumen hay que multiplicar el área por un volumen perpendicular a dicha área.

$$dV=\pi r^2 dZ.$$

En el caso del circulo tendremos; $Z=R Cos\theta$, $dZ=-R Sen\theta dZ$ y $r=R Sen\theta.$Sustituyendo en 1) tendremos;

$$dV=\pi (R Sen\theta)^2 \cdot (-R Sen\theta d\theta)=-\pi R^3 Sen^3\theta d\theta$$

Integrando y sacando las constantes;

$$V=-\pi R^3\int Sen^3\theta d\theta$$

Integrando y simplificando obtendremos;

$$V=\pi R^3\left(\frac{Sen^2 \theta Cos\theta}{3}+\frac{2 Cos\theta}{3} \right)$$

Definiendo la función entre $\theta=0$[/TEX] y $\theta=-\pi$ me sale el valor de;

$$\boxed{V_e=\frac{4\pi R^3}{3}}$$

Realmente, resultaría mas fácil integrando a partir del área de la circunferencia $a_c=4\pi R^2$, pero tenia ganas de enfrentarlo por el método indicado al principio.
Saludos y gracias.

[visitante20160513]

Re: Demostración del volumen de una circunferencia.

Lo más sencillo es usar coordenadas esféricas. La ecuación de la esfera en dichas coordenadas es $r\leqslant R$

$V=\displaystyle\iiint_\tau r^2Sen(\theta)dr d\theta d\varphi=2\pi\displaystyle\iint_\tau r^2Sen(\theta)dr d\theta=4\pi\displaystyle\int_\tau r^2dr=\frac{4\pi}{3}R^3$

Salu2, Jabato.

[inakigarber]

Re: Demostración del volumen de una circunferencia.

Lo más sencillo es usar coordenadas esféricas. La ecuación de la esfera en dichas coordenadas es $r\leqslant R$

$V=\displaystyle\iiint_\tau r^2Sen(\theta)dr d\theta d\varphi=2\pi\displaystyle\iint_\tau r^2Sen(\theta)dr d\theta=4\pi\displaystyle\int_\tau r^2dr=\frac{4\pi}{3}R^3$

No me manejo muy bien con las coordenadas esféricas, ni con las integrales en particular, pero me doy por satisfecho con lo entendido hasta ahora.

[carroza]

Re: Demostración del volumen de una circunferencia.

Hola.

¿No podrá cambiar alguien el título "Demostración de volumen de una circunferencia"? El volumen de una circunferencia es cero, lo mismo que el volumen de un circulo. Ya sé que en el interior de los mensajes se habla de volumen de la esfera, pero no quedamos muy bien en el foro ante nuestros visitantes que vean el título del hilo.

Saludos

[visitante20160513]

Re: Demostración del volumen de una esfera

Otra forma de calcular el volumen de la esfera: Suponiendo que el volumen contenido en el interior de un cierto ángulo sólido puede calcularse mediante una integral de la forma:

$dV_A=A(r)dr=\Omega r^2dr\quad\to\quad V_A=\displaystyle\Omega\int_0^Rr^2dr=\displaystyle\frac{\Omega}{3}R^3\quad\to\quad V=\frac{4\pi}{3}R^3$

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: Demostración del volumen de una esfera

Sabes algo de cálculoen varias variables¿? Si es así, te puedo explicar la deducción del diferencial de volumen en cualquier sistema de coordenadas, y entender ampliamente los cálculos míos y de Jabato, más allá de la intuición que en ellos hemos realizado.

[inakigarber]

Re: Demostración del volumen de una circunferencia.

Hola.

¿No podrá cambiar alguien el título "Demostración de volumen de una circunferencia"? El volumen de una circunferencia es cero, lo mismo que el volumen de un circulo. Ya sé que en el interior de los mensajes se habla de volumen de la esfera, pero no quedamos muy bien en el foro ante nuestros visitantes que vean el título del hilo.

Saludos

Tienes razón, creo que también estuve espeso en la elección del título.

- - - Actualizado - - -

Sabes algo de cálculoen varias variables¿? Si es así, te puedo explicar la deducción del diferencial de volumen en cualquier sistema de coordenadas, y entender ampliamente los cálculos míos y de Jabato, más allá de la intuición que en ellos hemos realizado.

No, lo que se de calculo diferencial, poco, lo se simplemente por cosas que he ido aprendiendo de modo autodidacta. O sea, que voy aprendiendo a medida que voy enfrentándome a problemas y me va apeteciendo saber como se resuelven.

[alexpglez]

Re: Demostración del volumen de una esfera

Entonces, deberías mirarte un poco eso antes. Pero si lo que quieres es mirarte volúmenes de sólidos en revolución, te vale lo que dije anteriormente:

$$\int_{z_0}^{z_1}\pi p(z)^2 dz$$

Donde $p(z)$ es el radio de la devanada de circunferencia en la altura z.

Saludos.