Teorema valor intermedio

[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con este ejercicio

Se sabe que la función $f(x)=5x^9+x-1$ , $x \in [-1,2]$ es estrictamente creciente en el intervalo [−1, 2] y por lo tanto posee una inversa.
Explicar (usando el teorema del valor intermedio) ¿por que el recorrido $\mathbb{R}(f)$ es el intervalo[f(−1), f(2)] Probar que la ecuación $f(x) = 0$ tiene una única raíz $c \in [0, 1]$.


No entiendo como aplicar el teorema del valor intermedio para explicar porque el recorrido es[f(−1), f(2)]

Saludos

[Alriga]

Se sabe que la función $f(x)=5x^9+x-1$ , $x \in [-1,2]$ es estrictamente creciente en el intervalo [−1, 2]

Probar que la ecuación $f(x) = 0$ tiene una única raíz $c \in [0, 1]$

f(0) = -1 < 0

f(1) = 5 > 0

Como la función es continua con f(0)<0 y f(1)>0 el Teorema de Bolzano te garantiza que habrá por lo menos un cero en [0, 1]. Por otro lado si la función es estrictamente creciente en [-1, 2] también será estrictamente creciente en [0, 1] por ser subconjunto de [-1, 2] El hecho de que sea estrictamente creciente en [0, 1] te garantiza que el cero que hay es único.

Saludos.

[Weip]

No entiendo como aplicar el teorema del valor intermedio para explicar porque el recorrido es[f(−1), f(2)]

Fíjate que $f$ es estrictamente creciente y continua en $[-1, 2]$. Hazte un dibujo y convéncete que como consecuencia del teorema del valor intermedio necesariamente el recorrido es $[f(-1), f(2)]$. De paso comprueba que si la función fuera estrictamente decreciente entonces el recorrido sería $[f(2), f(-1)]$.

Edito: Por esplayarme un poco más, dibuja en un papel una función estrictamente creciente genérica en un intervalo $[a,b]$, ni siquiera hace falta que grafiques la función del enunciado. Si la haces sin levantar el lápiz del papel estarás dibujando una función continua, que es hipótesis imprescindible en el teorema del valor intermedio. Como tu función es estrictamente creciente entonces $f(a)<f(b)$ y aplicando dicho teorema obtienes que todo punto de $(f(a),f(b))$ tiene antiimagen en $[a,b]$. Es decir, obtienes $[f(a),f(b)]\subset f([a,b])$. ¿A partir de aquí ves que $\subset$ es de hecho un igual?

[cristianoceli]

Fíjate que $f$ es estrictamente creciente y continua en $[-1, 2]$. Hazte un dibujo y convéncete que como consecuencia del teorema del valor intermedio necesariamente el recorrido es $[f(-1), f(2)]$. De paso comprueba que si la función fuera estrictamente decreciente entonces el recorrido sería $[f(2), f(-1)]$.

Edito: Por esplayarme un poco más, dibuja en un papel una función estrictamente creciente genérica en un intervalo $[a,b]$, ni siquiera hace falta que grafiques la función del enunciado. Si la haces sin levantar el lápiz del papel estarás dibujando una función continua, que es hipótesis imprescindible en el teorema del valor intermedio. Como tu función es estrictamente creciente entonces $f(a)<f(b)$ y aplicando dicho teorema obtienes que todo punto de $(f(a),f(b))$ tiene antiimagen en $[a,b]$. Es decir, obtienes $[f(a),f(b)]\subset f([a,b])$. ¿A partir de aquí ves que $\subset$ es de hecho un igual?

Si, con el dibujo lo veo bien. Claramente mas que $[f(a),f(b)]\subset f([a,b])$ este contenido es un igual.


Saludos