Consulta sobre cálculo de un elemento diferencial en coordenadas esféricas.

[inakigarber]

Buenas noches;
Llevo un rato tratando de demostrar el elemento de línea en coordenadas esféricas, pero no lo consigo.
El elemento de línea en coordenadas esféricas es $ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2 sen^2(\theta)d\varphi^2$, que es lo que pretendo demostrar.
Parto para ello de las coordenadas x, y ,z definidas de esta manera.
$x=r sen(\theta) cos(\varphi)$, $y=r sen(\theta) sen(\varphi)$,$z=r cos(\varphi)$.
He intentado hacerlo derivando primero con respecto a $\theta$ y despues con respecto a $\varphi$ y viceversa, pero no consigo alcanzar el resultado deseado, de manera que he tendido que haber olvidado algo. Hace tiempo que no hago este tipo de cálculos y creo que estoy un tanto oxidado.
¿Alguien puede darme algo de desoxidante?

Saludos y gracias.

[Al2000]

...
El elemento de línea en coordenadas esféricas es $ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2 sen^2(\theta)d\varphi^2$, que es lo que pretendo demostrar.
Parto para ello de las coordenadas x, y ,z definidas de esta manera.
$x=r sen(\theta) cos(\varphi)$, $y=r sen(\theta) sen(\varphi)$,$z=r cos(\varphi)$.
...

$$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> x &= r \, \mathrm {sen} \, \theta \cos \varphi \\ <br /> y &= r \, \mathrm {sen} \, \theta \, \mathrm {sen} \, \varphi \\ <br /> z &= r \cos \varphi <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Diferenciando:

$$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> dx &= dr \, \mathrm {sen} \, \theta \cos \varphi + r \cos \theta \, d \theta \cos \varphi - r \, \mathrm {sen} \, \theta \, \mathrm {sen} \, \varphi \, d \varphi \\<br /> dy &= dr \, \mathrm {sen} \, \theta \, \mathrm {sen} \, \varphi + r \cos \theta \, d \theta \, \mathrm {sen} \, \varphi + r \, \mathrm {sen} \, \theta \, \cos \varphi \, d \varphi \\<br /> dz &= dr \cos \varphi - r \, \mathrm {sen} \, \varphi \, d \varphi <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Eleva al cuadrado cada ecuación y suma para hallar $ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$. Te dejo el trabajo de hormiguita a ti. No te olvides de simplificar usando $\mathrm {sen}^2 \, A + \cos^2 A = 1$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Hola mientras trataba de hacer la deducción en lápiz y papel Al2000 me adelanto, lo que hace es la derivada total de cada variable respecto de las nuevas coordenadas,

es decir

$\left [\begin{aligned}<br /> dx &=\dfrac{\partial x}{\partial r} dr+\dfrac{\partial x}{\partial \theta} d\theta+\dfrac{\partial x}{\partial \phi} d\phi \\<br /> dy &=\dfrac{\partial y}{\partial r} dr+\dfrac{\partial y}{\partial \theta} d\theta+\dfrac{\partial y}{\partial \phi} d\phi \\<br /> dz &=\dfrac{\partial z}{\partial r} dr+\dfrac{\partial z}{\partial \theta} d\theta+\dfrac{\partial z}{\partial \phi} d\phi <br /> \end{aligned}\right .$

Como bien te indica sigue esos pasos para obtener el elemento de linea y operar para dejar todo en función de los diferenciales de las coordenadas al cuadrado, que son los que no se simplifican si haz hecho todo bien, y que es lógico porque creo que es una transformación sin torsión, algo así como que la nueva métrica en el nuevo sistema de coordenadas proviene de un tensor simétrico. con todos sus elemento en la diagonal.

[inakigarber]

Buenas noches, gracias por vuestras respuestas.

Eleva al cuadrado cada ecuación y suma para hallar $ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$. Te dejo el trabajo de hormiguita a ti. No te olvides de simplificar usando $\mathrm {sen}^2 \, A + \cos^2 A = 1$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

El trabajo de hormiguita se me está atragantando, pero de momento entiendo que se trata de calcular la derivada total de las coordenadas x, y, z respecto a $x, \theta y \varphi$.

Saludos.

[Richard R Richard]

vamos por partes porque es largo y engorroso un error y no da.


veamos

$dx^2=\left( \dfrac{\partial x}{\partial r} dr+\dfrac{\partial x}{\partial \theta} d\theta+\dfrac{\partial x}{\partial \phi} d\phi \right)^2$

$dx^2=\left(\dfrac{\partial x}{\partial r} \right)^2dr^2+\left(\dfrac{\partial x}{\partial \theta} \right)^2d\theta^2+\left(\dfrac{\partial x}{\partial \phi} \right)^2d\phi^2+2\dfrac{\partial x\partial x}{\partial r\partial \theta} dr\,d\theta+2\dfrac{\partial x\partial x}{\partial r\partial \phi} dr\,d\phi+2\dfrac{\partial x\partial x}{\partial \theta\partial \phi} d\theta\,d\phi$


$dy^2=\left(\dfrac{\partial y}{\partial r} dr+\dfrac{\partial y}{\partial \theta} d\theta+\dfrac{\partial y}{\partial \phi} d\phi \right)^2$

$dy^2=\left(\dfrac{\partial y}{\partial r} \right)^2dr^2+\left(\dfrac{\partial y}{\partial \theta} \right)^2d\theta^2+\left(\dfrac{\partial y}{\partial \phi} \right)^2d\phi^2+2\dfrac{\partial y\partial y}{\partial r\partial \theta} dr\,d\theta+2\dfrac{\partial y\partial y}{\partial r\partial \phi} dr\,d\phi+2\dfrac{\partial y\partial y}{\partial \theta\partial \phi} d\theta\,d\phi$


$dz^2 =\left(\dfrac{\partial z}{\partial r} dr+\dfrac{\partial z}{\partial \theta} d\theta+\dfrac{\partial z}{\partial \phi} d\phi\right)^2$

$dz^2=\left(\dfrac{\partial z}{\partial r} \right)^2dr^2+\left(\dfrac{\partial z}{\partial \theta} \right)^2d\theta^2+\left(\dfrac{\partial z}{\partial \phi} \right)^2d\phi^2+2\dfrac{\partial z\partial z}{\partial r\partial \theta} dr\,d\theta+2\dfrac{\partial z\partial z}{\partial r\partial \phi} dr\,d\phi+2\dfrac{\partial z\partial z}{\partial \theta\partial \phi} d\theta\,d\phi$



si

$\dfrac{\partial x}{\partial r}=\sin\theta\cos\phi\quad\quad \dfrac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta\sin\phi\quad\quad\dfrac{\partial z}{\partial r}=\cos\theta$

$\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=r\cos\theta\cos\phi\quad\quad\dfrac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos\theta\sin\phi\quad\quad\dfrac{\partial z}{\partial \theta}=-r\sin\theta$

$\dfrac{\partial x}{\partial \phi}=-r\sin\theta\sin\phi\quad\quad\dfrac{\partial y}{\partial \phi}=r\sin\theta\cos\phi\quad\quad\dfrac{\partial z}{\partial \phi}=0$


reemplazando estas ultimas 9 ecuaciones en las 3 anteriores tenemos


$dx^2=\left(\sin\theta\cos\phi \right)^2dr^2+\left(r\cos\theta\cos\phi \right)^2 d\theta^2+\left(-r\sin\theta\sin\phi \right)^2 d\phi^2+2\sin\theta\cos\phi r\cos\theta\cos\phi dr\,d\theta+2\sin\theta\cos\phi(-r\sin\theta\sin\phi) dr\,d\phi+2r\cos\theta\cos\phi (-r\sin\theta\sin\phi) d\theta\,d\phi$


$dy^2=\left(\sin\theta\sin\phi \right)^2dr^2+\left(r\cos\theta\sin\phi \right)^2 d\theta^2+\left(r\sin\theta\cos\phi \right)^2 d\phi^2+2\sin\theta\sin\phi r\cos\theta\sin\phi dr\,d\theta+2\sin\theta\sin\phi r\sin\theta\cos\phi dr\,d\phi+2r\cos\theta\sin\phi r\sin\theta\cos\phi d\theta\,d\phi$

$dz^2=\left(\cos\theta \right)^2dr^2+\left(-r\sin\theta\right)^2d\theta^2+\left(0\right)^2d\phi^2+2\cos\theta (-r\sin\theta)dr\,d\theta+2\cos\theta 0 dr\,d\phi+2(-r\sin\theta) 0 d\theta\,d\phi$

bueno solo queda por hacer $ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$ como es larga la ecuación agrupo para sacar factor común y escribo los 6 términos a los que le puedo sacar como factor comun $dr^2, d\theta^2, d\phi^2,dr d\theta ,dr d\phi, d\theta d\phi$


$ds^2= \left [\left(\sin\theta\cos\phi \right)^2+\left(\sin\theta\sin\phi \right)^2+\left(\cos\theta \right)^2\right ] dr^2 +$

$+\left [\left(r\cos\theta\cos\phi \right)^2+\left(r\cos\theta\sin\phi \right)^2+\left(-r\sin\theta\right)^2\right ] d\theta^2+$

$+\left [\left(-r\sin\theta\sin\phi \right)^2+\left(r\sin\theta\cos\phi \right)^2+0\right ] d\phi^2+$

$+\left[2\sin \theta \cos \phi r \cos \theta \cos \phi+2 \sin \theta \sin \phi r \cos \theta \sin \phi +2 \cos \theta (-r \sin \theta)\right] dr d\theta +$

$+\left [2\sin \theta \cos \phi (-r \sin \theta \sin \phi)+2 \sin \theta \sin \phi r \sin \theta \cos \phi +0 \right ] dr d\phi +$

$+\left [2r \cos \theta \cos \phi (-r \sin \theta \sin \phi) +2r \cos \theta \sin \phi r \sin \theta \cos \phi + 0 \right ] d\theta d\phi$


ahora hay que operar ,reagrupar en factor comun y usar la identidad trigonométrica $\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$se llega a que

$\left(\sin\theta\cos\phi \right)^2+\left(\sin\theta\sin\phi \right)^2+\left(\cos\theta \right)^2=1$

$\left(r\cos\theta\cos\phi \right)^2+\left(r\cos\theta\sin\phi \right)^2+\left(-r\sin\theta\right)^2=r^2$

$\left(-r\sin\theta\sin\phi \right)^2+\left(r\sin\theta\cos\phi \right)^2+0=r^2\sin^2\theta$

$2\sin \theta \cos \phi r \cos \theta \cos \phi+2 \sin \theta \sin \phi r \cos \theta \sin \phi +2 \cos \theta (-r \sin \theta)=0$

$2\sin \theta \cos \phi (-r \sin \theta \sin \phi)+2 \sin \theta \sin \phi r \sin \theta \cos \phi +0=0$

$2r \cos \theta \cos \phi (-r \sin \theta \sin \phi) +2r \cos \theta \sin \phi r \sin \theta \cos \phi+0=0$


Así $ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2+0 dr d\theta+0 dr d\phi+0d\theta d\phi$


osea

$$\boxed{ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2}\therefore cqd$$

[inakigarber]

Gracias por vuestra ayuda, me ha parecido muy detallada y supongo que habrá costado mucho trabajo el escribirla, lo cual es digno de agradecer. He tratado de desarrollarlo, pero me he vuelto loco intentando hacerlo. Trataba de desarrollarlo a partir del sistema de ecuaciones que expuso Al2000 en el post #2, no lo conseguí hasta que ayer a última hora me di cuenta de que el post mencionado tiene un error. Donde dijo;
$\left \{\begin{aligned}<br /> dx &= dr \, \mathrm {sen} \, \theta \cos \varphi + r \cos \theta \, d \theta \cos \varphi - r \, \mathrm {sen} \, \theta \, \mathrm {sen} \, \varphi \, d \varphi \\<br /> dy &= dr \, \mathrm {sen} \, \theta \, \mathrm {sen} \, \varphi + r \cos \theta \, d \theta \, \mathrm {sen} \, \varphi + r \, \mathrm {sen} \, \theta \, \cos \varphi \, d \varphi \\<br /> dz &= dr \cos \varphi - r \, \mathrm {sen} \, \varphi \, d \varphi<br /> \end{aligned}\right .$.
La ecuación relativa a $dz$ está equivocada, ya que debería ser $dz= dr \cos \theta - r sen\varphi d \theta$. De esta manera desarrollando el binomio de las tres ecuaciones ,ordenando los términos en función de $dr$,$d\theta$, $d\varphi$, los términos donde aparecen $dr d\theta$, $dr d\varphi$ y $d\theta d\varphi$ se anulan y por tanto solo nos queda $dr^2+r^2d\theta^2+r^2 sen^2 d\theta^2$, que es lo que se pretendía.

Gracias a ambos por la ayuda.

[Alriga]

.. He tratado de desarrollarlo, pero me he vuelto loco intentando hacerlo. Trataba de desarrollarlo a partir del sistema de ecuaciones que expuso Al2000 en el post #2, no lo conseguí hasta que ayer a última hora me di cuenta de que el post mencionado tiene un error. Donde dijo;

$\left \{\begin{aligned}<br /> dx &= dr \, \mathrm {sen} \, \theta \cos \varphi + r \cos \theta \, d \theta \cos \varphi - r \, \mathrm {sen} \, \theta \, \mathrm {sen} \, \varphi \, d \varphi \\<br /> dy &= dr \, \mathrm {sen} \, \theta \, \mathrm {sen} \, \varphi + r \cos \theta \, d \theta \, \mathrm {sen} \, \varphi + r \, \mathrm {sen} \, \theta \, \cos \varphi \, d \varphi \\<br /> dz &= dr \cos \varphi - r \, \mathrm {sen} \, \varphi \, d \varphi<br /> \end{aligned}\right .$.

La ecuación relativa a $\boldsymbol{dz}$ está equivocada, ya que debería ser $\boldsymbol{dz= dr \cos \theta - r \sin \cancel{\varphi} \ d\theta}$

Kaixo Iñaki, observa que debe ser:

$dz= dr \cos \theta - r \sin \theta \ d\theta$

Y nota que el error original es tuyo aquí:

Parto para ello de las coordenadas x, y, z definidas de esta manera:

$x=r sen(\theta) cos(\varphi)$, $y=r sen(\theta) sen(\varphi)$, $\boldsymbol{z=r cos(\cancel{\varphi})}$

Deberías haber escrito:

$\left \{\begin{aligned}<br /> x &= r \, \mathrm {sen} \, \theta \cos \varphi \\<br /> y &= r \, \mathrm {sen} \, \theta \, \mathrm {sen} \, \varphi \\<br /> z &= r \cos \theta<br /> \end{aligned}\right .$

El compañero Al2000 no repasó tus expresiones y no detectó el error, se limitó a hacer los diferenciales, que como partían de una expresión incorrecta para la coordenada z, dieron una expresión incorrecta del dz

Saludos.

[inakigarber]

Buenos días.

Gracias por tú corrección. Me doy cuenta de que me equivoqué en mi primer post y metí el dedo donde no debía. Pido disculpas por ello y reitero mi agradecimiento a Al2000 y a Richard R Richard por la ayuda prestada. Una mas a mi colección de gazapos..

[Alriga]

No te flageles Iñaki, con el puñetero LaTeX lo realmente difícil es no cometer errores, todos los hemos hecho en el foro, y más de una vez.
Saludos.