Límite en variable compleja

[Alofre]

Buenos días, estaba intentando demostrar la existencia (o no) de un límite en variable compleja por la definición (para demostrar su continuidad), pero me estoy haciendo un lío con la parte del final (posiblemente debido a mi falta de experiencia en el tema). Me preguntaba si alguien podría echarme un cabo. El límite es el siguiente
$\displaystyle \lim_{z \rightarrow 0} \frac{Re(z)}{1-|z|}$
Bien, en primer lugar, dado que el límite es tendiendo a cero (y presuponiendo que el límite es f(0)=0)debo demostrar que $\forall \epsilon > 0, \exists \delta >0 ~ | ~ |z|<\delta \Rightarrow |f(z)|< \epsilon$. Entonces, como z se acercará arbitrariamente a 0, y para z con $|z|<1$ se cumple que $|1-|z||=1-|z|$:
$\displaystyle |f(z)| = \frac{|Re(z)|}{|1-|z||} = \frac{|Re(z)|}{1-|z|} \leq \frac{|z|}{1-|z|}$
Ahora no tengo muy claro como continuar, es decir ese valor es claramente mayor que el módulo de z, pero no sé si eso sirve de algo...
Muchas gracias!!

[teclado]

Me parece que si demuestras que

$\dst \lim_{z\rightarrow 0}|f(z)|=0$

entonces,

$\dst \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0 / |z| < \delta \Rightarrow ||f(z)|| < \epsilon$

Y como

$||f(z)|| = |f(z)|$

Te queda que

$\dst \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0 / |z| < \delta \Rightarrow |f(z)| < \epsilon$

Es decir,

$\dst \lim_{z\rightarrow 0}f(z)=0$

Pero como dices,

$|Re(f(z))|<=|f(z)|$

Por lo que

$\dst |Re(f(z))|<=|f(z)|<\epsilon$

Y

$\dst \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0 / |z| < \delta \Rightarrow |Re(f(z))| < \epsilon$

O lo que es lo mismo,

$\dst \lim_{z\rightarrow 0}Re(f(z))=0$