Calculo de derivada de la función F para cálculo de una derivada

[inakigarber]

Buenas noches;

Leyendo este foro sobre relatividad, me encuentro con un problema que no se como resolver.

El enunciado del problema es el siguiente;
"PROBLEMA; Derivar las ecuaciones geodésicas para un espacio multi-dimensional que pueda ser Euclideano o no-Euclideano."

Bien, cuando define la función; $F=\sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}$ y más adelante desarrolla la derivada $\dfrac{\partial F}{\partial x^k}$, para obtener la derivada;
$\dfrac{\partial F}{\partial x^k}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{g_{pq}\dot x^p \dot x^q}}\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial x^k}\dot x^p \dot x^q$.

No consigo obtener ese resultado. Para empezar en la expresión de F no aparece $x^k$, por lo que en teoría su derivada sería nula, pero como los índices k,p y q solo pueden valer valores enteros (1,2,3,4) puedo hacer coincidir, por ejemplo haciendo p=k. Entonces en F tendría dos variables que dependerían de k ,$g_{kq}$ y $x^p=x^k$, con lo que prodría calcularlos como la derivada de un producto. Pero entonces el resultado tampoco me sale, ya que a mi me sale lo siguiente;
$\dfrac{\dot x^q \dot x^p \dfrac{\partial g_{qp}}{\partial \dot x^q}+g_{pq}}{2\sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}}$, cuyo resultado al menos aparentemente no me cuadra, a menos que el convenio de sumación de Einstein me esté jugando una mala pasada.

Supongo que alguien podrá aclararme donde meto la pata.

Saludos y gracias.

[Al2000]

Lo que pones como el resultado del libro parece ser simplemente la aplicación de la regla de la cadena... si $\dot x^p$ y $\dot x^q$ son independientes de $x^k$, lo que tienes es la derivada de la raíz por la derivada interna. Tu sabrás si eso tiene sentido.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Hola Iñaki no has hecho bien la regla de la cadena, las derivadas entre coordenadas son iguales a 1 cuando coinciden en sub indice y cero cuando no,ambas son constantes y si las vuelves a derivar seguro dan cero, luego obtienes el resultado propuesto por el blog.

$\dfrac{\partial F}{\partial x^k}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{g_{pq}\dot x^p \dot x^q}}\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial x^k}\dot x^p \dot x^q$.

Si $\dfrac{\partial x^p}{\partial x^k}=1$ cuando $k=p$ y $\dfrac{\partial x^p}{\partial x^k}=0$ cuando $k\neq p$ ambos resultados constantes
Entonces
$\dfrac{\partial \dot x^p}{\partial x^k}=0$ para todo p y la, puesto que la derivada de una constante es 0.
es decir los dos sumandos extra de la regla de la cadena van multiplicados por 0 , es decir lo del parentesis es nulo
$\dfrac{\partial F}{\partial x^k}=\dfrac{\dot x^q \dot x^p \dfrac{\partial g_{qp}}{\partial x^k}+g_{pq}\overbrace{\left(\dfrac{\partial \dot x^p}{\partial x^k}\dot x^q+\dot x^p\dfrac{\partial \dot x^q }{\partial x^k}\right)}^{0}}{2\sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}}$,

[inakigarber]

Buenos días;

Gracias por vuestras respuestas, pero creo que aún ando un poco perdido.

Hola Iñaki no has hecho bien la regla de la cadena, las derivadas entre coordenadas son iguales a 1 cuando coinciden en sub indice y cero cuando no,ambas son constantes y si las vuelves a derivar seguro dan cero, luego obtienes el resultado propuesto por el blog.

$\dfrac{\partial F}{\partial x^k}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{g_{pq}\dot x^p \dot x^q}}\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial x^k}\dot x^p \dot x^q$.

Si $\dfrac{\partial x^p}{\partial x^k}=1$ cuando $k=p$ y $\dfrac{\partial x^p}{\partial x^k}=0$ cuando $k\neq p$ ambos resultados constantes
Entonces
$\dfrac{\partial \dot x^p}{\partial x^k}=0$ para todo p y la, puesto que la derivada de una constante es 0.
es decir los dos sumandos extra de la regla de la cadena van multiplicados por 0 , es decir lo del parentesis es nulo
$\dfrac{\partial F}{\partial x^k}=\dfrac{\dot x^q \dot x^p \dfrac{\partial g_{qp}}{\partial x^k}+g_{pq}\overbrace{\left(\dfrac{\partial \dot x^p}{\partial x^k}\dot x^q+\dot x^p\dfrac{\partial \dot x^q }{\partial x^k}\right)}^{0}}{2\sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}}$,

Veamos, los valores de los subíndices k, p y q pueden ser (1,2,3 y 4), si se da la circunstancia de que $k\neq q$, y a su vez$k\neq p$, entonces el resultado será nulo. Pero si se da por ejemplo $k=q$, entonces el resultado que pones $\overbrace{\left(\dfrac{\partial \dot x^p}{\partial x^k}\dot x^q+\dot x^p\dfrac{\partial \dot x^q }{\partial x^k}\right)}^{0}$ incluiría una derivada no nula ¿sería nulo dicho resultado?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Hola ,yo me refería a que observe que $\dfrac{\partial x^q}{\partial x_k}\neq \dfrac{\partial \dot x^q}{\partial x_k}$
las del primer término si los índices son iguales toman valor 1 pero las del segundo término son siempre nulas porque $\dot x^q$ solo puede ser constante o bien 0 o bien 1 y la derivada de 0 o 1 es siempre 0.

Pero ahora he revisado mejor el blog... lo que hace es un tanto extraño primero trabaja con la derivada de la distancia s , para luego convertir a s en un parametro de longitud de arco en la ecuación de la geodesica.

Veamos aplica la ecuación de Euler para obtener las ecuaciones de movimiento. Estas ecuaciones las trabaja como hacemos en física clásica, mas bien respetando las matematicas, derivando respecto del tiempo y al segundo miembro por la velocidad.... hace igualaciones y concluye en una ecuación que es general para cualquier valor de k incluido el tiempo. sea 0 o 3 su subindice da igual.


en cuanto al valor cuando $k=p=q$ en el mejor de los casos cuando ese valor de subsidie corresponda a la coordenada tiempo, sería la única forma de que $\dfrac{\partial x^q}{\partial x_k}=\dfrac{\partial t}{\partial t}=1$

como $\dot x^q =v_q=\dfrac{\partial x^q}{\partial t}$

y $\dfrac{\partial \dot x^q}{\partial t}=\dfrac{\partial \left(\dfrac{\partial x^q}{\partial t}\right)}{\partial t}=\dfrac{\partial 1}{\partial t}=0$

por eso no hay mas términos derivadas provenientes de la regla de la cadena, solo quedan los términos diagonales de la metrica ,cuando la metirca no tiene torsión y puede luego hacer la generalización a las 4 coordenadas y hacer la parametrización por longitud de arco.

[inakigarber]

Buenos dias;
Gracias por tú comentario, me ha servido de mucha ayuda.

Hola ,yo me refería a que observe que $\dfrac{\partial x^q}{\partial x_k}\neq \dfrac{\partial \dot x^q}{\partial x_k}$
las del primer término si los índices son iguales toman valor 1 pero las del segundo término son siempre nulas porque $\dot x^q$ solo puede ser constante o bien 0 o bien 1 y la derivada de 0 o 1 es siempre 0.

Esto explica porque los términos en la expresión $\overbrace{\left(\dfrac{\partial \dot x^p}{\partial x^k}\dot x^q+\dot x^p\dfrac{\partial \dot x^q }{\partial x^k}\right)}^{0}$ son nulos.

[inakigarber]

Buenas noches;

Gracias por las explicaciones. A ver si entiendo bien esta parte del problema para poder pasar a la segunda.

Partimos de $F=\sqrt{g_{pq}\dot x^p \dot x^q}$, si $p\neq k \neq q$, entonces $\dfrac{\partial F}{\partial x^k}=0$. Si se da $k=q$, podemos renombrar $F=\sqrt{g_{kq}\dot x^p \dot x^k}$. Si hacemos $\omega=\dot x^p \dot x^k g_{pk}$ su derivada será $d \omega=\dot x^p \dot x^k \dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^k}$ (Para ello hay que asumir que $\dot x^k$ es invariante con respecto a $x^k$), algo que me está costando entender. Entonces tendremos;

$F=\sqrt{\omega}$, $\dfrac{dF}{d\omega}=\dfrac{1}{2\sqrt{\omega}}$, despejando, sustituyendo y dividiendo ambos términos por $\partial x^k$me queda; $\dfrac{\partial F}{\partial x^k}=\dfrac{\dot x^p \dot x^q\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial x^k}}{2\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}}$. Bien, ahora pretendo entender la segunda parte del problema (que no expuse en el enunciado). La solución que pone es;
$\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{g_{pq}\dot x^p \dot x^q}}2g_{pk}\dot x^p$. No consigo entender la explicación que da en el próximo párrafo sobre el porque del término $2g_{pk}\dot x^p$

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Buenas noches;

No consigo entender la explicación que da en el próximo párrafo sobre el porque del término $2g_{pk}\dot x^p$

El tensor $g_{pq}$ es simetrico es decir $g_{pq}=g_{qp}$

el producto $\dot x^p \dot x^q\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial x^k}$ lo que representa es un sumatorio de 16 elementos , cuando $k=q$ y estas derivando , haces la misma derivada dos veces y la sumas , por eso sale dos veces, y si te preguntas que pasa cuando $p=q=k$ en algún elemento diagonal que no esta repetido, entonces ese elemento esta al cuadrado pues $\dot x^p \dot x^q=(\dot x^p)^2= (\dot x^q)^2$ y su derivada queda multiplicada por 2 también.


Pd

Estas viendo que pretende utilizar la ecuacion de Euler

$\dfrac{\partial F}{\partial x^k}-\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}\right)=0$

y lo que hace es averiguar primero $\dfrac{\partial F}{\partial x^k}$ y luego $\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}$ que son diferentes,

luego relacionarlas componente a componente, para luego sustituir una componente por un elemento de linea para crear la geodesica

(Para ello hay que asumir que $\dot x^k$ es invariante con respecto a $x^k$), algo que me está costando entender.

fíjate que el mismo blog te lo indica luego no importa si se usa la coordenada tiempo para aplicar el punto

$\dot s=\dfrac{\partial s}{\partial s} =1$

$\ddot s=\dfrac{\partial \dot s}{\partial s} =0$

si s puede ser el tipo o cualquiera de las otras 3 coordenadas espaciales

$\dot s=\dfrac{\partial x^k}{\partial x^k} =1$

$\ddot s=\dfrac{\partial \dot s}{\partial x^k}=\dfrac{\partial \dot x^k}{\partial x^k} =\dfrac{\partial \dfrac{\partial x^k}{\partial x^k}}{\partial x^k}=\dfrac{\partial 1}{\partial x^k}=0$

[inakigarber]

Buenas noches;
Gracias por la ayuda.

fíjate que el mismo blog te lo indica luego no importa si se usa la coordenada tiempo para aplicar el punto

$\dot s=\dfrac{\partial s}{\partial s} =1$

$\ddot s=\dfrac{\partial \dot s}{\partial s} =0$

si s puede ser el tipo o cualquiera de las otras 3 coordenadas espaciales

$\dot s=\dfrac{\partial x^k}{\partial x^k} =1$

$\ddot s=\dfrac{\partial \dot s}{\partial x^k}=\dfrac{\partial \dot x^k}{\partial x^k} =\dfrac{\partial \dfrac{\partial x^k}{\partial x^k}}{\partial x^k}=\dfrac{\partial 1}{\partial x^k}=0$

Creo que esto mismo ya me lo explicaste en en post #5 y yo en mi gran cabezonería me he empeñado en no verlo . La derivada de una coordenada con respecto a una coordenada será 1 si ambas coordenadas coinciden y 0 si no. En ambos casos un escalar, y la derivada de un escalar siempre es nula.

[inakigarber]

Buenas nuches;

Gracias por tus comentarios.

....el producto $\dot x^p \dot x^q\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial x^k}$ lo que representa es un sumatorio de 16 elementos , cuando $k=q$ y estas derivando , haces la misma derivada dos veces y la sumas , por eso sale dos veces, y si te preguntas que pasa cuando $p=q=k$ en algún elemento diagonal que no esta repetido, entonces ese elemento esta al cuadrado pues $\dot x^p \dot x^q=(\dot x^p)^2= (\dot x^q)^2$ y su derivada queda multiplicada por 2 también.

.

Esto me está resultando algo más difícil, y no se si lo estoy entendiendo bien. La única forma de entenderlo es considerando que el tensor métrico $g_{pq}$ es invariante con respecto al tiempo (entiendo que la notación $\dot x$ denota una derivada con respecto al tiempo). El hecho de que el tensor métrico tuviera los subíndices p y q y que estableciéramos la igualdad p=k me ha hecho pensar que la derivada $\dfrac{\partial g_{kq}}{\partial \dot x^k}$ pudiera tener un valor distinto de 0, y creo que en eso he andado bastante perdido estos días.

¿Es lo que acabo de escribir correcto?

[Richard R Richard]

Hola Iñaki

veamos, espero no equivocarme ,

el termino $g_{pq}\dot x^p \dot x^q$ es segun lo entiendo lo siguiente

$\left(\begin{array}{cccc}<br /> \dot x^1 & \dot x^2 & \dot x^3 & \dot x^4<br /> \end{array}\right) \quad \cdot \quad \left(\begin{array}{cccc}g_{11} & g_{12} & g_{13} & g_{14} \\g_{21} & g_{22} & g_{23} & g_{24} \\g_{31} & g_{32} & g_{33} & g_{34} \\g_{41} & g_{42} & g_{43} & g_{44}\end{array}\right) \quad \cdot \quad \left(\begin{array}{cccc}<br /> \dot x^1 \\ \dot x^2 \\ \dot x^3 \\ \dot x^4<br /> \end{array}\right)$

Es un sumatorio de 16 componentes

Cuando haces la derivada de F , la raiz de la expesion anterior contiene a los 16 sumandos

cuando haces regla de la cadena al derivar cada uno de los 16 sumandos arroja 3 terminos es decir tienes 48 sumandos, totales.P ero vimos antes queen cada grupo de tres sumandos sucedia


$\dot x^q \dot x^p \dfrac{\partial g_{qp}}{\partial x^k}+g_{pq}\overbrace{\left(\dfrac{\partial \dot x^p}{\partial x^k}\dot x^q+\dot x^p\dfrac{\partial \dot x^q }{\partial x^k}\right)}^{0}$



en definitiva mira bien la siguiente relación

$\dfrac{\partial (g_{pq}\dot x^p \dot x^q)}{\partial t}=\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial t}\dot x^p \dot x^q$

porque como vimos la derivada de respecto del tiempo de una constante es nula, y se anulan así 32 de los 48 sumandos.

si no le pifio en la notacion quedarian


$\dfrac{\partial \left(g_{11}x^1x^1+g_{12}\dot x^1\dot x^2+g_{13}\dot x^1\dot x^3+g_{14}\dot x^1x^4+g_{21}x^2\dot x^1+g_{22}x^2x^2+g_{23}\dot x^2\dot x^3+g_{24}\dot x^2\dot x^4+g_{31}\dot x^3\dot x^1+g_{32}\dot x^3\dot x^2+g_{33}\dot x^3\dot x^3+g_{34}\dot x^3\dot x^4+g_{41}\dot x^4\dot x^1+g_{42}\dot x^4\dot x^2+g_{43}\dot x^4\dot x^3+g_{44}\dot x^4\dot x^4\right)}{\partial t}<br />$

que si sabemos que $g_{ij}$ es simetrica entonces $g_{ij}=g_{ji}$

que $\dot x^i\dot x^i=(\dot x^i)^2$

y que $\dot x^i\dot x^j=\dot x^j\dot x^i$ por propiedad conmutativa del producto


si reemplazo eso en la ecuacion anterior nos queda

$\dfrac{\partial\left(g_{11}(\dot x^1)^2+g_{12}\dot x^1\dot x^2+g_{13}\dot x^1\dot x^3+g_{14}\dot x^1\dot x^4+g_{12}\dot x^1\dot x^2+g_{22}(\dot x^2)^2+g_{23}\dot x^2\dot x^3+g_{24}\dot x^2\dot x^4+g_{13}\dot x^1\dot x^3+g_{23}\dot x^2\dot x^3+g_{33}(\dot x^3)^2+g_{34}\dot x^3\dot x^4+g_{14}\dot x^1\dot x^4+g_{24}\dot x^2\dot x^4+g_{43}\dot x^3\dot x^4+g_{44}(\dot x^4)^2\right)}{\partial t}<br />$

bueno ahora si haces factor comun los terminos repetidos veras que esto queda

$\dfrac{\partial\left(g_{11}(\dot x^1)^2+2g_{12}\dot x^1\dot x^2+2g_{13}\dot x^1\dot x^3+2\dot g_{14}\dot x^1\dot x^4+g_{22}(\dot x^2)^2+2g_{23}\dot x^2\dot x^3+2g_{24}\dot x^2\dot x^4+g_{33}(\dot x^3)^2+2g_{34}\dot x^3\dot x^4+g_{44}(\dot x^4)^2\right)}{\partial t}<br />$

y la derivada de esos terminos aplicando la regla de la cadena como dijimos queda

$\dfrac{\partial g_{11}}{\partial t} 2 \dot x^1+2\dfrac{\partial g_{12}}{\partial t} \dot x^1 \dot x^2+2\dfrac{\partial g_{13}}{\partial t}\dot x^1\dot x^3+2\dfrac{\partial g_{14}}{\partial t}\dot x^1 \dot x^4+\dfrac{\partial g_{22}}{\partial t}2\dot x^2+2\dfrac{\partial g_{23}}{\partial t}\dot x^2\dot x^3+2\dfrac{\partial g_{24}}{\partial t}\dot x^2\dot x^4+\dfrac{\partial g_{33}}{\partial t}2\dot x^3+2\dfrac{\partial g_{34}}{\partial t}\dot x^3\dot x^4+\dfrac{\partial g_{44}}{\partial t}2\dot x^4<br />$

cada termino esta multiplicado por un 2 de allí que esto es $2\dot g_{pk}\dot x^p$ pero no $2 g_{pk}\dot x^p$ porque solo sumarian los terminos con el subincide que corresponda al tiempo $p=t$ puedes escojer t como subindice 1 y reemplazar




Quiza ya te maree y otra mirada lo pueda revisar y mejorar

[inakigarber]

Buenas noches;

Gracias por tu dedicación y tu tiempo. Creo que empiezo a aclarar las cosas, pero aún hay aspectos en que estoy bastante espeso.

....
en definitiva mira bien la siguiente relación

$\dfrac{\partial (g_{pq}\dot x^p \dot x^q)}{\partial t}=\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial t}\dot x^p \dot x^q$

porque como vimos la derivada de respecto del tiempo de una constante es nula, y se anulan así 32 de los 48 sumandos.

Bien, eso solo es posible si los términos $\dot x^q$ y $\dot x^p$ son independientes con respecto al tiempo, como ya quedó reflejado en otro de tus post anteriores.

Entonces, siendo esto así no entiendo cuando más adelante dices;

y la derivada de esos terminos aplicando la regla de la cadena como dijimos queda

$\dfrac{\partial g_{11}}{\partial t} 2 \dot x^1+...+\dfrac{\partial g_{22}}{\partial t}2\dot x^2...+\dfrac{\partial g_{33}}{\partial t}2\dot x^3...+\dfrac{\partial g_{44}}{\partial t}2\dot x^4<br />$

cada termino esta multiplicado por un 2 de allí que esto es $2\dot g_{pk}\dot x^p$ pero no $2 g_{pk}\dot x^p$ porque solo sumarian los terminos con el subincide que corresponda al tiempo $p=t$ puedes escojer t como subindice 1 y reemplazar

Quiza ya te maree y otra mirada lo pueda revisar y mejorar

En el blog que mencioné al principio, la solución que da es $2g_{pk}\dot x^p$, cuando trato de extender la expresión $g_{pk}\dot x^p$, obtengo lo siguiente;

$g_{11}\dot x^1+g_{12}\dot x^1+g_{13}\dot x^1+g_{14}\dot x^1+g_{21}\dot x^2+g_{22}\dot x^2+g_{23}\dot x^2+g_{24}\dot x^2+g_{31}\dot x^3+g_{32}\dot x^3+g_{33}\dot x^3+g_{34}\dot x^3+g_{41}\dot x^4+g_{42}\dot x^4+g_{43}\dot x^4+g_{44}\dot x^4$, reordenando los términos y excluyendo aquellos donde $q=k$, me encuentro, por ejemplo con $g_{12}\dot x^1$ y $g_{21}\dot x^2$ en los que los subíndices de la variable no coinciden, por tanto algo debo estar haciendo mal o entendiéndolo mal.

[Richard R Richard]

$g_{11}\dot x^1+g_{12}\dot x^1+g_{13}\dot x^1+g_{14}\dot x^1+g_{21}\dot x^2+g_{22}\dot x^2+g_{23}\dot x^2+g_{24}\dot x^2+g_{31}\dot x^3+g_{32}\dot x^3+g_{33}\dot x^3+g_{34}\dot x^3+g_{41}\dot x^4+g_{42}\dot x^4+g_{43}\dot x^4+g_{44}\dot x^4$, reordenando los términos y excluyendo aquellos donde $q=k$, me encuentro, por ejemplo con $g_{12}\dot x^1$ y $g_{21}\dot x^2$ en los que los subíndices de la variable no coinciden, por tanto algo debo estar haciendo mal o entendiéndolo mal.

No no es asi aver si me sale

ya vimos que $\dfrac{\partial F}{\partial x^k}=\dfrac{\dot x^p \dot x^q\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial x^k}}{2\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}}$

pero ahora vamos a hacer

$\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}$


por regla de la cadena es la mitad de la derivada de la raiz por la derivada de lo que hay dentro de la raiz

$\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}=\dfrac{\dfrac{\partial\left( \dot x^p \dot x^q g_{pq}\right)}{\partial \dot x^k}}{2\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}}$

desarrollemos ahora solo el numerador

$\dfrac{\partial\left( \dot x^p \dot x^q g_{pq}\right)}{\partial \dot x^k}$

fijate que si k=p=q el termino esta elevado al cuadrado por lo que la derivada sale multiplicando por 2 y si el termino g_{pq} tiene indices distintos entonces sabemos que $g_{pq}\dot x^p\dot x^q=g_{qp}\dot x^q\dot x^p$ y ambos lados de la ecuacion aparecen 1 vez en los sumando luego es lo mismo escribir $2 g_{qp}\dot x^q\dot x^p$ y al derivar cuando $k=q$se obtiene $2 g_{qp}\dot x^p$ o si es $k=p$ se obtiene $2 g_{qp}\dot x^q$


veamos si me sale si desarrollo todos los sumandos de

$\begin {aligned}& \dot x^p \dot x^q g_{pq}= \\ \dot x^1 \dot x^1 g_{11} &+\dot x^1 \dot x^2 g_{12}+\dot x^1 \dot x^3 g_{13}+\dot x^1 \dot x^4 g_{14}+\\ \dot x^2 \dot x^1 g_{21} & +\dot x^2 \dot x^2 g_{22}+\dot x^2 \dot x^3 g_{23}+\dot x^2 \dot x^4 g_{24}+\\ \dot x^3 \dot x^1 g_{31} & +\dot x^3 \dot x^2 g_{32}+\dot x^3 \dot x^3 g_{33}+\dot x^3 \dot x^4 g_{34}+\\ \dot x^4 \dot x^1 g_{41} & +\dot x^4 \dot x^2 g_{42}+\dot x^4 \dot x^3 g_{43}+\dot x^4 \dot x^4 g_{44}\end{aligned}<br />$

aplicando lo dicho anteriormente

$\begin {aligned}& \dot x^p \dot x^q g_{pq}= \\ (\dot x^1)^2 g_{11} &+\dot x^1 \dot x^2 g_{12}+\dot x^1 \dot x^3 g_{13}+\dot x^1 \dot x^4 g_{14}+\\ \dot x^1 \dot x^2 g_{12} & +(\dot x^2)^2 g_{22}+\dot x^2 \dot x^3 g_{23}+\dot x^2 \dot x^4 g_{24}+\\ \dot x^1 \dot x^3 g_{13} & +\dot x^2 \dot x^3 g_{23}+(\dot x^3)^2 g_{33}+\dot x^3 \dot x^4 g_{34}+\\ \dot x^1 \dot x^4 g_{14} & +\dot x^2 \dot x^4 g_{24}+\dot x^3 \dot x^4 g_{34}+(\dot x^4)^2 g_{44}\end{aligned}<br />$

sumando terminos repetidos

$\begin {aligned}& \dot x^p \dot x^q g_{pq}= \\ (\dot x^1)^2 g_{11} & +2\dot x^1 \dot x^2 g_{12} & +2\dot x^1 \dot x^3 g_{13} & +2\dot x^1 \dot x^4 g_{14}+\\ 0 & +(\dot x^2)^2 g_{22} & + 2\dot x^2 \dot x^3 g_{23} & + 2\dot x^2 \dot x^4 g_{24}+\\ 0 & +0 & +(\dot x^3)^2 g_{33} & +2 \dot x^3 \dot x^4 g_{34}+\\ 0&+0&+0& + (\dot x^4)^2 g_{44}\end{aligned}<br />$

si ahora derivamos respecto de $\dot k$ tenemos que si hay independencia de la metrica respecto de la velocidad


$\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial \dot x^k}=0$

y si hay indepencencia entre coordenadas


$\dfrac{\partial \dot x^k}{\partial \dot x^k}=1$ con $q= k$

$\dfrac{\partial \dot x^q}{\partial \dot x^k}=0$ con $q\neq k$

así por regla del producto al derivar

si
$\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^k}=\dfrac{\partial \dot x^p }{\partial \dot x^k} \dot x^q g_{pq}+\dot x^p \dfrac{\partial \dot x^q }{\partial \dot x^k} g_{pq}+\dot x^p \dot x^q \dfrac{\partial g_{pq}}{\partial \dot x^k}$


que resulta si k=p

$\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^k}=1 \dot x^q g_{pq}+\dot x^p 0 g_{pq}+\dot x^p \dot x^q 0=\dot x^q g_{pq}$

entonces suponiento t=1=k

$\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^1}= 2\dot x^1 g_{11} +2 \dot x^2 g_{12} +2 \dot x^3 g_{13} +2 \dot x^4 g_{14} +0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0$

reemplazando lo variable como indice dummy en notacion de einstein

$\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^1}= 2\dot x^p g_{1p}$

y esto es valido para cualquier variable sea o no el tiempo o k =(1,2,3,4)

$\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^k}= 2\dot x^p g_{kp}$

si reemplazas esto en la ecuacion original


$\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}=\dfrac{\dfrac{\partial\left( \dot x^p \dot x^q g_{pq}\right)}{\partial \dot x^k}}{2\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}}=\dfrac{\cancel {2}\dot x^p g_{kp}}{\cancel {2}\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}}=\dfrac{\dot x^p g_{kp}}{\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}}\therefore cqd$

[inakigarber]

Muchas gracias por tu explicación y por tú tiempo. La explicación que das es muy clara y detallada.

desarrollemos ahora solo el numerador

$\dfrac{\partial\left( \dot x^p \dot x^q g_{pq}\right)}{\partial \dot x^k}$

fijate que si k=p=q el termino esta elevado al cuadrado por lo que la derivada sale multiplicando por 2 y si el termino g_{pq} tiene indices distintos entonces sabemos que $g_{pq}\dot x^p\dot x^q=g_{qp}\dot x^q\dot x^p$ y ambos lados de la ecuacion aparecen 1 vez en los sumando luego es lo mismo escribir $2 g_{qp}\dot x^q\dot x^p$ y al derivar cuando $k=q$se obtiene $2 g_{qp}\dot x^p$ o si es $k=p$ se obtiene $2 g_{qp}\dot x^q$


....
si ahora derivamos respecto de $\dot k$ tenemos que si hay independencia de la metrica respecto de la velocidad


$\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial \dot x^k}=0$

y si hay indepencencia entre coordenadas


$\dfrac{\partial \dot x^k}{\partial \dot x^k}=1$ con $q= k$

$\dfrac{\partial \dot x^q}{\partial \dot x^k}=0$ con $q\neq k$

así por regla del producto al derivar

si
$\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^k}=\dfrac{\partial \dot x^p }{\partial \dot x^k} \dot x^q g_{pq}+\dot x^p \dfrac{\partial \dot x^q }{\partial \dot x^k} g_{pq}+\dot x^p \dot x^q \dfrac{\partial g_{pq}}{\partial \dot x^k}$


que resulta si k=p

$\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^k}=1 \dot x^q g_{pq}+\dot x^p 0 g_{pq}+\dot x^p \dot x^q 0=\dot x^q g_{pq}$
.....
y esto es valido para cualquier variable sea o no el tiempo o k =(1,2,3,4)

$\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^k}= 2\dot x^p g_{kp}$

si reemplazas esto en la ecuacion original


$\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}=\dfrac{\dfrac{\partial\left( \dot x^p \dot x^q g_{pq}\right)}{\partial \dot x^k}}{2\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}}=\dfrac{\cancel {2}\dot x^p g_{kp}}{\cancel {2}\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}}=\dfrac{\dot x^p g_{kp}}{\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}}\therefore cqd$

Por un tiempo llegué a pensar que el tensor métrico variaba también con la velocidad, pero esto no se si tiene ningún sentido. Solo me cabe una pregunta, si en la expresión original que copio $\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}=\dfrac{\dot x^p \dot x^q\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial \dot x^k}}{2\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}}$ aparece en el numerador aparece el factor $\dot x^p$ y hemos establecido que k=p, entonces en el numerador tendríamos $\dot x^k$, si numerador y denominador dependen de $\dot x^k$ ¿Por qué no se aplica aquí la derivada del cociente? $\dfrac{A'B-AB'}{B^2}$

Saludos y gracias por tu detallada explicación.

[Richard R Richard]

No ,no es la derivada de un cociente todo surge de aplicar la regla de la cadena.
Si
$F=\sqrt{\dot x^p\dot x^q g_{pq}}$

Y aplicas la regla de la cadena
$\dfrac{\partial F_{(x(t))}}{\partial t}=$$\dfrac{\partial F_{(x(t))}}{\partial x}\,$$\dfrac{\partial x(t)}{\partial t}$
por un lado prlaimero.sacas la derivada de la raíz y a eso lo multiplicas por la derivada de todo lo que hay en el interior de la raiz que es el producto de tres funciones que ya resolvi en el post anterior.