Calculo de derivada de la función F para cálculo de una derivada

[inakigarber]

Muchas gracias por tu explicación y por tu paciencia.

No ,no es la derivada de un cociente todo surge de aplicar la regla de la cadena.
Si
$F=\sqrt{\dot x^p\dot x^q g_{pq}}$

Y aplicas la regla de la cadena
$\dfrac{\partial F_{(x(t))}}{\partial t}=$$\dfrac{\partial F_{(x(t))}}{\partial x}\,$$\dfrac{\partial x(t)}{\partial t}$
por un lado prlaimero.sacas la derivada de la raíz y a eso lo multiplicas por la derivada de todo lo que hay en el interior de la raiz que es el producto de tres funciones que ya resolvi en el post anterior.

Bien, veamos a ver si me sale.

Si se diera el caso $p \neq k \neq q$. El resultado sería 0.
Si se diera el caso $p =k \neq q$
Entonces $F=\sqrt{\dot x^k \dot x^q g_{kq}}$. Llamando $\omega$ al interior de la raíz, tendremos;

$$d\omega=\dot x^q g_{kq}d\dot x^k$$

$F=\sqrt{\omega}$.
$\dfrac{dF}{d\omega}=\dfrac{1}{2\sqrt\omega}$
$\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}=\dfrac{\dot x^k g_{kq}}{2\sqrt{\dot x^k \dot x^q g_{kq}}}$, que multiplicado por la derivada del interior de la raíz, lo cual lo hice en (1) me da;
$\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}=\dfrac{(\dot x^k g_{kq})^2}{2\sqrt{\dot x^k \dot x^q g_{kq}}}$, lo cual no me cuadra.

Si parto de $q=k=p$, entonces;
$F=\sqrt{(\dot x^k)^2g_{kk}}=x^k\sqrt{g_{kk}}$, $dF=\sqrt{g_{kk}}d\dot x^k$, por otra parte, la derivada del interior de la raíz me sale $d\omega=2\dot x^k g_{kk}d\dot x^k$, lo cual me da un resultado que tampoco me cuadra $2 \dot x^k g_{kk}^{(3/2)}d \dot x^k$, lo cual aún me cuadra menos.

[Richard R Richard]

$$d\omega=\dot x^q g_{kq}d\dot x^k$$

No veo porque seria así, ya lo explique antes, veré si lo puedo reiterar explicándolo mejor

$F=\sqrt{\omega}$.
$\dfrac{dF}{d\omega}=\dfrac{1}{2\sqrt\omega}$

eso es correcto.... pero la regla de la cadena ademas implica que también $\omega$ sea derivado respecto de la "derivada de la componente $x^k$ "

el resto de lo que escribes no esta bien

veamos definimos $F=\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}$

y si definimos que $\omega =\dot x^p \dot x^q g_{pq}$

y ahora queremos obtener $\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}$ y aplicamos la regla de la cadena

podemos valernos de

$$\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}=\dfrac{\partial F}{\partial \omega}\dfrac{\partial \omega}{\partial \dot x^k}$$

ya viste que

$$\dfrac{\partial F}{\partial \omega}=\dfrac{1}{2\sqrt\omega}$$

y ahora falta $\dfrac{\partial \omega}{\partial \dot x^k}$

bien hasta allí vamos el convenio de sumacion de Einstien es una forma de abrebiar un sumatorio y permite escribir la siguiente igualdad donde la ultima igualdad sería lka representación de dicho sumatoriio sin el convenio de Einstein

$\omega =\dot x^k \dot x^q g_{kq}=\dst \sum\limits_{p=1}^4 \sum\limits_{q=1}^4 \dot x^p \dot x^q g_{pq}$

y vimos en mi desarrollo de ese sumatorio queda

si desarrollo todos los sumandos de

$\begin {aligned}& \dot x^p \dot x^q g_{pq}= \\ \dot x^1 \dot x^1 g_{11} &+\dot x^1 \dot x^2 g_{12}+\dot x^1 \dot x^3 g_{13}+\dot x^1 \dot x^4 g_{14}+\\ \dot x^2 \dot x^1 g_{21} & +\dot x^2 \dot x^2 g_{22}+\dot x^2 \dot x^3 g_{23}+\dot x^2 \dot x^4 g_{24}+\\ \dot x^3 \dot x^1 g_{31} & +\dot x^3 \dot x^2 g_{32}+\dot x^3 \dot x^3 g_{33}+\dot x^3 \dot x^4 g_{34}+\\ \dot x^4 \dot x^1 g_{41} & +\dot x^4 \dot x^2 g_{42}+\dot x^4 \dot x^3 g_{43}+\dot x^4 \dot x^4 g_{44}\end{aligned}<br />$

aplicando lo dicho anteriormente

$\begin {aligned}& \dot x^p \dot x^q g_{pq}= \\ (\dot x^1)^2 g_{11} &+\dot x^1 \dot x^2 g_{12}+\dot x^1 \dot x^3 g_{13}+\dot x^1 \dot x^4 g_{14}+\\ \dot x^1 \dot x^2 g_{12} & +(\dot x^2)^2 g_{22}+\dot x^2 \dot x^3 g_{23}+\dot x^2 \dot x^4 g_{24}+\\ \dot x^1 \dot x^3 g_{13} & +\dot x^2 \dot x^3 g_{23}+(\dot x^3)^2 g_{33}+\dot x^3 \dot x^4 g_{34}+\\ \dot x^1 \dot x^4 g_{14} & +\dot x^2 \dot x^4 g_{24}+\dot x^3 \dot x^4 g_{34}+(\dot x^4)^2 g_{44}\end{aligned}<br />$

sumando terminos repetidos

$\begin {aligned}& \dot x^p \dot x^q g_{pq}= \\ (\dot x^1)^2 g_{11} & +2\dot x^1 \dot x^2 g_{12} & +2\dot x^1 \dot x^3 g_{13} & +2\dot x^1 \dot x^4 g_{14}+\\ 0 & +(\dot x^2)^2 g_{22} & + 2\dot x^2 \dot x^3 g_{23} & + 2\dot x^2 \dot x^4 g_{24}+\\ 0 & +0 & +(\dot x^3)^2 g_{33} & +2 \dot x^3 \dot x^4 g_{34}+\\ 0&+0&+0& + (\dot x^4)^2 g_{44}\end{aligned}<br />$

esto escrito de otro modo

$\omega = (\dot x^1)^2 g_{11} +2\dot x^1 \dot x^2 g_{12} +2\dot x^1 \dot x^3 g_{13} +2\dot x^1 \dot x^4 g_{14} +(\dot x^2)^2 g_{22} + 2\dot x^2 \dot x^3 g_{23} + 2\dot x^2 \dot x^4 g_{24}+(\dot x^3)^2 g_{33} +2 \dot x^3 \dot x^4 g_{34}+ (\dot x^4)^2 g_{44}<br />$

y ahora debo hacer

$\dfrac{\partial \omega}{\partial \dot x^k}=\dfrac{\partial \left( (\dot x^1)^2 g_{11} +2\dot x^1 \dot x^2 g_{12} +2\dot x^1 \dot x^3 g_{13} +2\dot x^1 \dot x^4 g_{14} +(\dot x^2)^2 g_{22} + 2\dot x^2 \dot x^3 g_{23} + 2\dot x^2 \dot x^4 g_{24}+(\dot x^3)^2 g_{33} +2 \dot x^3 \dot x^4 g_{34}+ (\dot x^4)^2 g_{44}\right )}{\partial \dot x^k}$

y la derivada de esos términos .......

$\dfrac{\partial g_{11}}{\partial t} 2 \dot x^1+2\dfrac{\partial g_{12}}{\partial t} \dot x^1 \dot x^2+2\dfrac{\partial g_{13}}{\partial t}\dot x^1\dot x^3+2\dfrac{\partial g_{14}}{\partial t}\dot x^1 \dot x^4+\dfrac{\partial g_{22}}{\partial t}2\dot x^2+2\dfrac{\partial g_{23}}{\partial t}\dot x^2\dot x^3+2\dfrac{\partial g_{24}}{\partial t}\dot x^2\dot x^4+\dfrac{\partial g_{33}}{\partial t}2\dot x^3+2\dfrac{\partial g_{34}}{\partial t}\dot x^3\dot x^4+\dfrac{\partial g_{44}}{\partial t}2\dot x^4<br />$

cada termino esta multiplicado por un 2

luego el 2 sale como factor común puesto que

que resulta si k=p

$$\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^k}=1 \dot x^q g_{pq}+\dot x^p 0 g_{pq}+\dot x^p \dot x^q 0=\dot x^q g_{pq}$$

entonces suponiendo indice t=1=k

$\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^1}= 2\dot x^1 g_{11} +2 \dot x^2 g_{12} +2 \dot x^3 g_{13} +2 \dot x^4 g_{14} +0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0$

reemplazando lo variable como indice dummy en notacion de Einstein

$\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^1}= 2\dot x^p g_{1p}$

y esto es valido para cualquier variable sea o no el tiempo o k =(1,2,3,4)

$$\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^k}= 2\dot x^p g_{kp}$$

si reemplazas esto en la ecuación original (1) lo que vale la (2) y la (3) justificadas por el desarrolo de la derivada del producto que marque en mi cita como (4)

$\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}=\overbrace{\dfrac{\partial F}{\partial \omega}\dfrac{\partial \omega}{\partial \dot x^k}}^1$$=\overbrace{\dfrac{1}{2\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}}}^2\cdot \dfrac{\partial\left( \dot x^p \dot x^q g_{pq}\right)}{\partial \dot x^k}$$=\dfrac{1}{2\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}} \overbrace{2\dot x^p g_{kp}}^3 =\dfrac{\dot x^p g_{kp}}{\sqrt{\dot x^p \dot x^q g_{pq}}}\therefore cqd$

[inakigarber]

Gracias por tu comentario de nuevo, por fin creo que lo he entendido.

La expresión que me ha servido para ver la luz ha sido

podemos valernos de

$$\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}=\dfrac{\partial F}{\partial \omega}\dfrac{\partial \omega}{\partial \dot x^k}$$

ya viste que

$$\dfrac{\partial F}{\partial \omega}=\dfrac{1}{2\sqrt\omega}$$

y ahora falta $\dfrac{\partial \omega}{\partial \dot x^k}$

A partir de aquí, otra clave ha sido el desarrollar el sumatorio siguiendo el convenio de sumación de Einstein y considerando el carácter simétrico del tensor métrico $g_{ij}<br /> =g_{ji}$ y la propiedad conmutativa de la multiplicación $x^1 x^2=x^2 x^1$ llegamos a la conclusión $\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^k}= 2\dot x^p g_{kp}$, este para el caso de k=q ó $\dfrac{\partial \dot x^p \dot x^q g_{pq} }{\partial \dot x^k}= 2\dot x^q g_{kp}$, para el caso de k=p

Lamento haber dicho tantas tonterías antes de poder entender esto.

[inakigarber]

Buenas noches;

He continuado estudiando este problema, y entiendo creo que bien el proceso explicado más arriba en el foro, no obstante, hay un aspecto en el que vuelvo a perderme.
Cuando dice;

$\dfrac{\partial g_{pq}}{2 \dot s \partial x^k}\dot x^p \dot x^q-\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{g_{pk}\dot x^p}{\dot s}\right)=0$.

Entiendo que la cuestión está en resolver esta derivada, pero debo estar equivocándome en algo, veamos.
$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{g_{pk}\dot x^p}{\dot s}\right)=\dfrac{g_{pk}d \dot x^p}{\dot s}+\dfrac{d g_{pk} \dot x^p}{\dot s dt}+\dfrac{d}{dt}\dfrac{1}{\dot s}g_{pk} \dot x^p$. Entiendo que el tensor métrico es invariante con respecto al tiempo, por lo que el segundo sumando será nulo y me quedaría $=\dfrac{g_{pk}d \dot x^p}{\dot s}+\dfrac{d}{dt}\dfrac{1}{\dot s}g_{pk} \dot x^p$, pero no consigo llegar a la ecuación que sale en el paso siguiente, de manera que debo estar equivocándome en algo.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola iñaki

$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{g_{pk}\dot x^p}{\dot s}\right)=\dfrac{g_{pk}d \dot x^p}{\dot s}+\dfrac{d g_{pk} \dot x^p}{\dot s dt}+\dfrac{d}{dt}\dfrac{1}{\dot s}g_{pk} \dot x^p$

creo que no es correcta ,

lo que hay que derivar es el producto de dos funciones dividido otra función, aplica las reglas e derivacion del producto y la división


$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{g_{pk}\dot x^p}{\dot s}\right)=\dfrac{\left[ \dfrac{d}{dt}\left(g_{pk}\right)\dot x^p+g_{pk} \dfrac{d}{dt}\left(\dot x^p\right) \right]\dot s-g_{pk}\dot x^p\ddot s}{(\dot s)^2}$

resuelve aplicando que $\ddot s=0$

incluye el resultado en la ecuación que venias haciendo

$\dfrac{\partial F}{\partial x^k}-\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}\right)=0$

sabiendo que

$\dot s=\sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}$

$\dfrac{\partial F}{\partial x^k}=\dfrac{\partial g_{pq}}{2 \dot s \partial x^k}\dot x^p \dot x^q$

reordena todo, simplifica y mira que te queda.

[inakigarber]

Buenos días;

En el blog que estoy siguiendo, cuando dice "Tomando la derivada con respecto al tiempo e invirtiendo el orden de los términos (lo cual equivale simplemente a cambiar los signos):" llega a la siguiente solución;
$g_{pk}\ddot x^p+\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q}\dot x^p \dot x^q-\dfrac{\partial g_{pq}}{2\partial x^k}\dot x^p \dot x^q=\dfrac{g_{pk}\dot x^p \ddot s}{\dot s}$.

Yo llego a una expresión que tiene la misma forma, pero que no me coinciden los subíndices. Veamos.
$\dfrac{d}{dt}\left[\dfrac{g_{pk}\dot x^p}{\dot s}\right]$. Aplicando la derivada del cociente;
$\dfrac{d}{dt}\left[\dfrac{g_{pk}\dot x^p}{\dot s}\right]=\dfrac{\dot s \left[\dot g_{pk}\dot x^p+g_{pk}\ddot x\right]-\ddot s g_{pk}\dot x^p}{\dot s^2}$.

Utilizo la notación punto para denotar la primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

Aplicando esta fórmula a la ecuación de Euler, simplificando y despejando obtengo;

$\dot g_{pk} \dot x^p+ g_{pk} \ddot x^p-\dfrac{\partial g_{pk}\dot x^p \dot x^q}{2\partial x^k} =\dfrac{\ddot s g_{pk} \dot x^p}{\dot s}$

Saludos.

[Richard R Richard]

$\dot g_{pk} \dot x^p+ g_{pk} \ddot x^p-\dfrac{\partial g_{pk}\dot x^p \dot x^q}{2\partial x^k} =\dfrac{\ddot s g_{pk} \dot x^p}{\dot s}$

Saludos.

El termino a la derecha es 0 porque $\ddot s=0$

$\dot g_{pk} \dot x^p+ g_{pk} \ddot x^p-\dfrac{\partial g_{pk}\dot x^p \dot x^q}{2\partial x^k} =0$

fijate lo que vale el primer termino de esa ecuación.repasa las primera lecciones de la página seguro queda en función de $x^q$también recuerda que k puede ser el tiempo o cualquiera de las 3 coordenadas espaciales.

luego fijate de donde viene la siguiente ecuación del desarrollo...esa no la tengo clara.

pero después mira que eso tiene que pasar restando en la ecuación del lagrangiano,

pasa el diferencial s primo arriba ya que hay una igualación en 0

entiendo que te que la segunda derivada por un lado y el resto todo multiplicado por $x^px^q$, si lo sacas factor común, el sumatorio interior son los términos del simbolo de Christofell, pero segura hay un cambio de indices para que todos coincidan, en que se debe premultiplicar por la inversa de la métrica.

te recomiendo, paciencia , un papel en blanco con la definición de cada término, para ir reemplazando valores.

[inakigarber]

El termino a la derecha es 0 porque $\ddot s=0$

$\dot g_{pk} \dot x^p+ g_{pk} \ddot x^p-\dfrac{\partial g_{pk}\dot x^p \dot x^q}{2\partial x^k} =0$

fijate lo que vale el primer termino de esa ecuación.repasa las primera lecciones de la página seguro queda en función de $x^q$también recuerda que k puede ser el tiempo o cualquiera de las 3 coordenadas espaciales.

luego fijate de donde viene la siguiente ecuación del desarrollo...esa no la tengo clara.

pero después mira que eso tiene que pasar restando en la ecuación del lagrangiano,

pasa el diferencial s primo arriba ya que hay una igualación en 0

entiendo que te que la segunda derivada por un lado y el resto todo multiplicado por $x^px^q$, si lo sacas factor común, el sumatorio interior son los términos del simbolo de Christofell, pero segura hay un cambio de indices para que todos coincidan, en que se debe premultiplicar por la inversa de la métrica.

te recomiendo, paciencia , un papel en blanco con la definición de cada término, para ir reemplazando valores.

La solución que me sale a mí, no coincide con la del blog y empiezo a preguntarme si no habrá un error en dicho blog. Veamos, a mi me sale:
$\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q} \dot x^p+ g_{pk} \ddot x^p-\dfrac{\partial g_{pk}\dot x^p \dot x^q}{2\partial x^k} =\dfrac{\ddot s g_{pk} \dot x^p}{\dot s}$, pero la solución del blog es;
$\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q} \dot x^p \dot x^q+ g_{pk} \ddot x^p-\dfrac{\partial g_{pk}\dot x^p \dot x^q}{2\partial x^k} =\dfrac{\ddot s g_{pk} \dot x^p}{\dot s}$. Si te fijas, el término donde aparece la derivada con respecto al tiempo (que supongo aquí es el término $\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q}$) viene acompañado de dos términos ($\dot x^p \dot x^q$) en la solución que aparece en el blog, pero a mí solo me sale un término.

[Richard R Richard]

Hola iñaki fijate en esta ecuación

$\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q} \dot x^p\dot x^q=\dfrac 12\left(\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q}+\dfrac{\partial g_{qk}}{\partial x^p}\right)\dot x^p\dot x^q$

es cierta por simetría de la métrica,

$\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q}=\dfrac{\partial g_{qk}}{\partial x^p}$

si te fijas que el tiempo t puede reemplazarse por x^q

aplicando la regla de la cadena

$\dot g_{pk} \dot x^p=\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial t}\dot x^p=\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q}\dfrac{\partial x^q}{\partial t}\dot x^p=\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q}\dot x^p\dot x^q$

allí sale el termino que te faltaba,

con estas ecuaciones reemplazando en la de Euler, te queda la suma de las derivadas que componen el simbolo de christoffel, un paso mas y lo tienes.

[inakigarber]

.....
si te fijas que el tiempo t puede reemplazarse por x^q

aplicando la regla de la cadena

$\dot g_{pk} \dot x^p=\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial t}\dot x^p=\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q}\dfrac{\partial x^q}{\partial t}\dot x^p=\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q}\dot x^p\dot x^q$

allí sale el termino que te faltaba,

con estas ecuaciones reemplazando en la de Euler, te queda la suma de las derivadas que componen el simbolo de christoffel, un paso mas y lo tienes.

Mirándolo así es de una sencillez aplastante, pero yo no habría sido capaz de encontrarlo..