Consulta sobre cálculo de la derivada covariante múltiple de un tensor.

[inakigarber]

Buenas noches;

Se trata de demostrar la siguiente ecuación;
$V_{p;qr}=(V_{p;q})_{;r}=\dfrac{\partial V_{p;q}}{\partial x^r}-\Gamma^j_{pr}V_{j;q}-\Gamma^j_{qr}V_{p;j}$.
El ejercicio lo plantea para demostrar que en una derivada covariante el orden de factores sí altera el producto, es decir $V_{p;qr} \neq V_{p;rq}$
Para ello trato de resolver la ecuación $V_{(p;q);r}$
Para lo cual empiezo por el paréntesis. $(V_{p;q})=\dfrac{\partial V_p}{\partial x^q} -\Gamma^j_{pq}V_j$, de manera que ahora tendré;

$V_{p;qr}=\left[\dfrac{\partial V_p}{\partial x^q}-\Gamma ^j_{pq}V_j\right]_{;r}$, desarrollándolo me sale;
$V_{p;qr}=\dfrac{\partial}{\partial x^q}\left[\dfrac{\partial V_p}{\partial x_r}-\Gamma^j_{pr}V_j \right]-\Gamma^j_{pq}\left[\dfrac{\partial V_j}{\partial x^r}-\Gamma^t_{jr}V_t\right]$. Me sale el siguiente resultado;
$V_{p;qr}=\dfrac{\partial^2V^p}{\partial x^q\partial x^r}-\Gamma^j_{pr}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^q}-\Gamma^j_{pq}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^r}+\Gamma^j_{pq}\Gamma^t_{jr}V_t$, pero el resultado no me coincide con el original. ¿Es correcto lo que yo he hecho?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Si, partes de un vector covariante, y le haces dos derivadas covariantes dices que se afirma que

$V_{p;qr}=(V_{p;q})_{;r}=\dfrac{\partial V_{p;q}}{\partial x^r}-\Gamma^j_{pr}V_{j;q}-\Gamma^j_{qr}V_{p;j}$

entonces sería cierto que

$V_{p;rq}=(V_{p;r})_{;q}=\dfrac{\partial V_{p;r}}{\partial x^q}-\Gamma^j_{pq}V_{j;r}-\Gamma^j_{rq}V_{p;j}$

quieres ver si $V_{p;qr}\neq V_{p;rq}$ que es lo quieres probar, para mi es evidente que no son lo mismo, pero bueno hay que probarlo.


es cierto que

$\dfrac{\partial V_{p;r}}{\partial x^q}=\dfrac{\partial V_{p;q}}{\partial x^r}=\dfrac{\partial^2V_p}{\partial x^q\partial x^r}=\dfrac{\partial^2V_p}{\partial x^r\partial x^q}$

pero no es cierto que

$\dfrac{\partial}{\partial x^q}\left[\Gamma^j_{pr}V_j \right]\neq \Gamma^j_{pr}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^q}$

porque $\Gamma^j_{pr}V_j$ es un producto de funciones la derivada de un producto es la derivada del primero por el segundo sin derivar mas el primero sin derivar por el segundo derivado....$\Gamma^j_{pr}$ no es constante

la primera ecuación que posteas tiene 6 términos pero la quinta tiene 4 términos, habrá dos que se cancelan??? ..

como se calcula la derivada de un simbolo christoffel, ni idea, lo busqué y no lo encontré, ni recuerdo haberlo leído, supongo que tiene que ver con algún cambio de índices útiles para lograr la demostración.

yo desarrollaría bien los términos de esa primer ecuación, escribiendolos con la misma notación que haces en tu desarrollo para ver donde no te cuadra la cosa.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta.

...
es cierto que

$\dfrac{\partial V_{p;r}}{\partial x^q}=\dfrac{\partial V_{p;q}}{\partial x^r}=\dfrac{\partial^2V_p}{\partial x^q\partial x^r}=\dfrac{\partial^2V_p}{\partial x^r\partial x^q}$

pero no es cierto que

$\dfrac{\partial}{\partial x^q}\left[\Gamma^j_{pr}V_j \right]\neq \Gamma^j_{pr}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^q}$

porque $\Gamma^j_{pr}V_j$ es un producto de funciones la derivada de un producto es la derivada del primero por el segundo sin derivar mas el primero sin derivar por el segundo derivado....$\Gamma^j_{pr}$ no es constante...

Había partido de la idea de que los símbolos de Christoffel son constantes, pero eso no tiene porque ser así, es mejor desechar esa idea, pero creo que aún tendré que tomarme un tiempo antes de poder seguir, porque veo que se me complican los cálculos.
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Ayer no pude seguir con los cálculos, los retomo hoy, pero creo que sigo tan perdido como ayer.
$V_{p;qr}=(V_{p:q})_{r}$
$=\dfrac{\partial V_p}{\partial x^q}-\Gamma^j_{pq}V_j$
$=\left[\dfrac{\partial V_p}{\partial x^q}-\Gamma^j_{pq}V_j \right]_{;r}$
$=\left[\dfrac{\partial V_p}{\partial x^q} \right]_{;r}-\left[\Gamma^j_{pq}V_j \right]_{;r}$
$=\dfrac{\partial}{\partial x^q}(V_{p;r})-\left[\Gamma^j_{pq;r}V_j+\Gamma^j_{pq;r}V_{j;r}\right]$
$=\dfrac{\partial}{\partial x^q}(V_{p;r})-\left[\Gamma^j_{pq;r}V_j+\Gamma^j_{pq;r}V_{j;r}\right]$
$=\dfrac{\partial}{\partial x^q}\left[\dfrac{\partial V_p}{\partial x^r}-\Gamma^j_{pr}V_j\right]-\left[\Gamma^j_{pq;r}V_j+\Gamma^j_{pq;r}\left(\dfrac{\partial V_j}{\partial x^r}-\Gamma^t_{jr}V_t\right)\right]$
$=\dfrac{\partial^2 V_p}{\partial x^q \partial x^r}-\dfrac{\partial}{\partial x^q}(\Gamma^j_{pr}V_j-\left[\Gamma^j_{pq;r}+\Gamma^j_{pq}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^r}-\Gamma^j_{pq}\Gamma^t_{jr}V_t\right]$
$=\dfrac{\partial^2 V_p}{\partial x^q \partial x^r}-\left[V_j\dfrac{\partial}{\partial x^q}\Gamma^j_{pr}+\Gamma^j_{pr}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^q}\right]-\left[\Gamma^j_{pq;r}+\Gamma^j_{pq}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^r}-\Gamma^j_{pq}\Gamma^t_{jr}V_t\right]$

Me sale como resultado final "simplificándo";

$V_{p;qr}=\dfrac{\partial^2 V_p}{\partial x^q \partial x^r}-V_j\dfrac{\partial \Gamma^j_{pr}}{\partial x^q}+\Gamma^j_{pr}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^q}-\Gamma^j_{pq;r}V_j-\Gamma^j_{pq}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^r}+\Gamma^j_{pq}\Gamma^t_{jr}V_t$

$V_{p;rq}=\dfrac{\partial^2 V_p}{\partial x^r \partial x^q}-V_j\dfrac{\partial \Gamma^j_{pq}}{\partial x^r}+\Gamma^j_{pq}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^r}-\Gamma^j_{pr;q}V_j-\Gamma^j_{pr}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^q}+\Gamma^j_{pr}\Gamma^t_{jq}V_t$

Restando, me sale;

$V_{p;qr}-V_{p;rq}=V_j\left[\dfrac{\partial \Gamma^j_{pq}}{\partial x^r}-\dfrac{\partial \Gamma^j_{pr}}{\partial x^q}\right]+2\left(\Gamma^j_{pr}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^q}-\Gamma^j_{pq}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^r}\right)+\Gamma^j_{pr;q}-\Gamma^j_{pq;r}+\Gamma^j_{pq}\Gamma^t_{jr}V_t-\Gamma^j_{pr}\Gamma^t_{jq}V_t$, esto no se acerca al resultado del blog que estoy siguiendo, que es el siguiente;
$V_{p;qr}-V_{p;rq}=\left(\Gamma^k_{pr}\Gamma^j_{kp}-\dfrac{\partial}{\partial x^r}\Gamma^j_{pq}-\Gamma^k_{pq}\Gamma^j_{kr}+\dfrac{\partial}{\partial x^q}\Gamma^j_{pr}\right)V_j$. No coinciden ni los índices ni la forma de las ecuaciones.

P.D. Mirando con un poco de detenimiento mi expresión, podía dar el mismo resultado del blog siempre y cuando se diera la condición de que
$2\left(\Gamma^j_{pr}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^q}-\Gamma^j_{pq}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^r}\right)+\Gamma^j_{pr;q}-\Gamma^j_{pq;r}=0$
Cambiando los índices $j->m$ y $t->j$ en los dos miembros de la derecha (donde aparecen los símbolos de Christoffel dobles), entonces si coinciden las expresiones, espero que esto último que acabo de escribir en esta postdata no será una solemne barbaridad.

¿Es así?

Saludos y gracias.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta.

P.D. Mirando con un poco de detenimiento mi expresión, podía dar el mismo resultado del blog siempre y cuando se diera la condición de que
$2\left(\Gamma^j_{pr}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^q}-\Gamma^j_{pq}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^r}\right)+\Gamma^j_{pr;q}-\Gamma^j_{pq;r}=0$
Cambiando los índices $j->m$ y $t->j$ en los dos miembros de la derecha (donde aparecen los símbolos de Christoffel dobles), entonces si coinciden las expresiones, espero que esto último que acabo de escribir en esta postdata no será una solemne barbaridad.

¿Es así?

Saludos y gracias.

Buenas noches;

Repasando el tema tras unos días de descanso, creo que he resuelto una parte del problema.

Cuando dije; $2\left(\Gamma^j_{pr}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^q}-\Gamma^j_{pq}\dfrac{\partial V_j}{\partial x^r}\right)+\Gamma^j_{pr;q}-\Gamma^j_{pq;r}=0$.

Veamos. $\Gamma^j_{pr;q}$
$\Gamma^j_{pr}=g^{ja}\Gamma_{pra}$
$\Gamma_{pra}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial g_{ra}}{\partial x^p}+\dfrac{\partial g_{ap}}{\partial x^r}-\dfrac{\partial g_{pr}}{\partial x^a}\right)$
Por lo que tendríamos;
$\Gamma^j_{pr}=g^{ja}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial g_{ra}}{\partial x^p}+\dfrac{\partial g_{ap}}{\partial x^r}-\dfrac{\partial g_{pr}}{\partial x^a}\right)$
$\Gamma^j_{pr;q}=\left[g^{ja}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial g_{ra}}{\partial x^p}+\dfrac{\partial g_{ap}}{\partial x^r}-\dfrac{\partial g_{pr}}{\partial x^a}\right)\right];q$
Si no estoy equivocado, las derivadas covariantes de los factores $\dfrac{1}{2}$, $g_{ra}$, así como el factor entre paréntesis $\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^q}$ son nulas. Por tanto, si no estoy equivocado $\Gamma^j_{pr;q}-\Gamma^j_{pq;r}=0+0=0$. Pero sigo enrevesado con el primer sumando y no sé como salir.
¿Es correcto lo que acabo de escribir?

Saludos.