Números donde la función es discontinua

[crishchess]

Hola tengo dudas con este ejercicio

Encuentre los números en caso de haberlos en que la función es discontinua

$y=\displaystyle\frac{tanx}{x+3} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{sinx}{cosx}}{x+3}=\displaystyle\frac{sinx}{(x+3)cos(x)}$

- Busquemos las asíntotas verticales

$(x+3)cosx=0 \longrightarrow{} x+3= 0 \vee cos(x) =0$

Es decir $x=-3$ y $x=k \displaystyle\frac{\pi}{2}$ serian las asíntotas verticales el $k$ es como función es periódica

Asíntotas horizontales

Tengo que calcular $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{sinx}{(x+3)cos(x)}$ pero no se me ocurre como hacerlo solo con propiedades de limites no hemos visto derivadas

Saludos

[Abdulai]

...
Es decir $x=-3$ y $x=k \displaystyle\frac{\pi}{2}$ serian las asíntotas verticales el $k$ es como función es periódica

En realidad es solo en los $k$ impares. Debería ser $x=-3$ y $x=(2k+1)\displaystyle\frac{\pi}{2}$

Tengo que calcular $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{sinx}{(x+3)cos(x)}$ pero no se me ocurre como hacerlo solo con propiedades de limites no hemos visto derivadas

Es que no hay asíntota horizontal. Si bien cuando $x\to\infty$ tiende a en la mayoría de los puntos, siempre existe un entorno alrededor de $x=\dfrac{(2k+1)\pi}{2}$ donde la función tiende a $\pm\infty$

[crishchess]

En realidad es solo en los $k$ impares. Debería ser $x=-3$ y $x=(2k+1)\displaystyle\frac{\pi}{2}$


Es que no hay asíntota horizontal. Si bien cuando $x\to\infty$ tiende a en la mayoría de los puntos, siempre existe un entorno alrededor de $x=\dfrac{(2k+1)\pi}{2}$ donde la función tiende a $\pm\infty$

Me complica escribirlo así$x=(2k+1)\displaystyle\frac{\pi}{2}$ . Seria correcto afirmar para $x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi$ con $k \in \mathbb{N}$ ?

Saludos

[Abdulai]

...Seria correcto afirmar para $x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi$ con $k \in \mathbb{N}$ ?

Sí, es lo mismo.
También se puede dejar como lo hiciste al principio pero aclarando que $k$ es impar.

Saludos.

Ah! $k\in\mathbb Z$

[carroza]

Os falta el caso de x=-3, en el que obviamente la función es discontinua.

De hecho, el problema se simplifica considerando que el producto de dos funciones continuas es una funcion continua. El producto de dos funciones discontinuas, con puntos discretos de discontinuidad diferentes, es discontinua en los puntos en las que una o la otra de los factores sean discontinuas.

Asi, bastaria analizar por separado las doscontinuidades de $1/(x+3)$ y de $\tan{x}$

saludos