Recta normal a una curva

[crishchess]

Hola tengo dudas con este ejercicio

Determinar la ecuación de la recta normal a la curva $y=x^2-2x-3$ en el punto abscisa $x_0=1$

- Primero encontraré la pendiente de la recta tangente

$m_1= f(x)^{\prime}=2x-2 = 2 \cdot 1 -2 = 0$

- Como necesitamos la recta normal sabemos que sus pendientes forman un ángulo de $90$. Por lo tanto la multiplicación de sus pendientes es $-1$

$m_1 \cdot m_2 =-1$

$0 \cdot m_2 =-1 \Rightarrow{} m_2 = \displaystyle\frac{-1}{0} = \infty$

Por lo tanto tiene pendiente infinita siendo la recta normal $x=1$.

¿Es correcto?


Saludos

[Alriga]

... siendo la recta normal $x=1$. ¿Es correcto? ...

Sí, es correcto. Nota que como la derivada de la función en el punto x=1 sale y'(1)=0 por lo tanto en ese punto hay o bien un máximo o un mínimo o una inflexión horizontal. En este caso concreto como la derivada segunda es positiva y"(1)=2 se trata de un mínimo.

En un mínimo, la tangente es horizontal y por lo tanto la normal es vertical.

Saludos.

[Weip]

Hola crishchess.

- Como necesitamos la recta normal sabemos que sus pendientes forman un ángulo de $90$. Por lo tanto la multiplicación de sus pendientes es $-1$

$m_1 \cdot m_2 =-1$

$0 \cdot m_2 =-1 \Rightarrow{} m_2 = \displaystyle\frac{-1}{0} = \infty$

Por lo tanto tiene pendiente infinita siendo la recta normal $x=1$.

A la hora de escribirlo en papel no lo expliques así. Ten presente que la ecuación $0 \cdot m_2 =-1$ no tiene solución así que no puedes decir que $m_2$ es infinito. Es mejor que digas que la recta normal no tiene pendiente definida por lo que es una recta vertical y di que en tal caso su ecuación es $x=1$.

[JCB]

Hola a tod@s.

Una cosa Weip. En lugar de decir que la pendiente no está definida, ¿ no sería mejor decir que la pendiente tiende a $\infty$, y por tanto corresponde a una recta que forma $90^{\circ}$ con la horizontal ?.

Es que si decimos que la pendiente no está definida simplemente, entonces podría formar cualquier ángulo con la horizontal. ¿ Es correcto lo que he escrito ?.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Weip]

Hola JCB.

¿ En lugar de decir que la pendiente no está definida, no sería mejor decir que la pendiente tiende a $\infty$, y por tanto corresponde a una recta que forma $90^{\circ}$ con la horizontal ?.

El lenguaje de límites no es adecuado en este caso porque la expresión "la pendiente tiende a..." parece implicar que la recta tiene diversas pendientes o que existe una especie de sucesiones de rectas con distintas pendientes, cada vez más verticales, que tienen como límite la recta vertical. Ninguna de estas opciones es realmente necesaria para considerar una recta normal totalmente vertical.

Es que si decimos que la pendiente no está definida simplemente, entonces podría formar cualquier ángulo con la horizontal. ¿ Es correcto lo que he escrito ?.

No, porque una pendiente no definida corresponde necesariamente con una recta vertical. Además el ángulo con la recta tangente será recto sin más opción: por mucho que la recta sea vertical tiene vector director, y se puede calcular el ángulo que forman la recta normal y la recta tangente utilizando sus respectivos vectores directores. Por ejemplo considera los ejes de coordenadas. Podemos coger dos vectores directores que de hecho son la base canónica, $\vec{i}=(1,0)$ y $\vec{j}=(0,1)$, calcular $\cos(\alpha)=\vec{i} \cdot \vec{j}/|\vec{i}||\vec{j}|=0/1=0$ y concluir que el ángulo es de noventa grados sin pasar ningún momento por una pendiente infinita del eje Y.

Espero haberme explicado bien, ya dirás.

[JCB]

Gracias. Voy a intentar asimilarlo.