1r ciclo Integral de una derivada parcial

[kuvala]

Hola Buenas :

Mi duda es la siguiente ¿Es posible realizar esto? ¿En qué casos podría realizarse?

$\dst\int_{x_0=x_a(y_0)}^{x_0=x_c(y_0)}\frac{\partial}{\cancel{\partial x_0}}\left(\text{acosh}\left(\frac{x-x_0}{\beta|y-y_0|}\right)\right)\cancel{dx_0}=$$\dst\text{acosh}\left(\frac{x-x_c(y_0)}{\beta|y-y_0|}\right)-\text{acosh}\left(\frac{x-x_a(y_0)}{\beta|y-y_0|}\right)$

He puesto este ejemplo porque me lo he encontrado en un desarrollo e intuyo que hace eso.

En caso de que el ejemplo anterior se pudiera realizar, ¿por qué este otro caso no se puede?

- Calculo la diferencial total de la función de Gibs, por ejemplo: $\dst dG(T,p)=\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p dT+\left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T dp$

- Ahora la integro
$\dst G(T,p)=\int\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p dT+\int\left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T dp$

Muchas gracias

Un Saludo

[Weip]

Re: Integral de una derivada parcial

La primera parte es correcta pero cuidado en la segunda parte, en las integrales indefinidas es un poco diferente:

$\dst\int \dst\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)dx=f(x,y)+C(y)$

Fíjate que la constante de integración depende de $y$. Esto es porque al derivar puedes perder términos dependientes de $y$ que al hacer la integral "a saco" no aparecen.

Ejemplo:

$\dst\frac{\partial }{\partial x}(x^2 y+2y+xy)dx=2xy+y$

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Ahora si integras sin preocuparte mucho:

$\dst\int(2xy+y)dx=x^2y+xy$

Esta no es la función original, nos falta el término $2y$. El resultado real es:

$\dst\int(2xy+y)dx=x^2y+xy+C(y)$

No siempre se puede determinar la constante de integración. En los casos en los que se pueda tendrás que usar las condiciones iniciales del problema.

[kuvala]

Re: Integral de una derivada parcial

Entonces, entiendo que la primera parte está bien porque la integral es definida. En ese caso, si la segunda integral (la de Gibbs) fuera también definida, ¿se podría hacer lo mismo que en la primera?

[Weip]

Re: Integral de una derivada parcial

Entonces, entiendo que la primera parte está bien porque la integral es definida. En ese caso, si la segunda integral (la de Gibbs) fuera también definida, ¿se podría hacer lo mismo que en la primera?

Sí, si es definida no hay problema.