1r ciclo Área superficial de un segmento de esfera

[JuanTara9705]

Buenos días, por favor alguien podría ayudarme o guiarme en este ejercicio, el cual dice lo siguiente:

- Determine el área de la superficie de aquella porción de la esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$, entre $y=3$ y $y=4$.

Mis pasos es que he llegado a 2 formas de resolver el ejercicio que son las siguientes:

1° forma: $z=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}$ ;

sí: $x^{2}+16+z^{2}=25$ ; $x^{2}+9+z^{2}=25$

entonces: $A(s)=2 \iint_{D} \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1} dA$

2° forma: $f(x,y)=\sqrt{25-x^{2}-z^{2}}$ (gráfica de una arandela)

entonces: $A(s)=\iint_{D} \sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{z}^{2}} dA$

Agradezco si alguien me puede ayudar en resolver las integrales planteadas en los dos casos o cual es más conveniente y fácil de llegar a la resolución, puede que sea aplicando técnicas básicas de integración, pero gracias si me pueden ayudar en esto.

[teclado]

Yo probaría a usar coordenadas cilíndricas alrededor del eje Y. Te puede simplificar bastante las cosas:

$<br /> \begin{aligned}<br /> x &= r \cos(\varphi) \\<br /> z &= r \sin(\varphi) \\<br /> y &= y<br /> \end{aligned}<br />$

Como pasa con todo sólido de revolución, puedes obtener su superficie calculando la longitud de una función (en tu caso la longitud de un arco), para luego integrar respecto a $\varphi$ (que se traduce en multiplicar por $2\pi$).

Un saludo.

[Alriga]

Si cortas la esfera $x^2+y^2+z^2=5^2$ de radio 5 con los planos paralelos $y=3$ , $y=4$ obtienes un segmento esférico, (dibujo de la derecha) Como el segmento esférico es una superficie de revolución girando alrededor del eje "y", la manera más sencilla de hallar su área es usar la expresión que, si consultas tus apuntes, seguramente habéis demostrado en clase:

$$\boxed{\dst A=2\pi\int_{x_1}^{x_2} x \ \sqrt{1+\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2} \, \text{d}x}$$

En nuestro caso, observando la esfera en el plano z=0 (dibujo de la izquierda) la curva y(x) es una circunferencia de radio 5:

$x^2+y^2=R^2$

$y(x)=\sqrt{R^2-x^2}$

Calculamos la derivada que necesitamos:

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac x{\sqrt{R^2-x^2}}$

El área será:

$\dst A=2 \pi \int_{x_1}^{x_2} x \ \sqrt{1+\dfrac{x^2}{R^2-x^2}} \ dx =2 \pi R \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{x \ dx}{\sqrt{R^2-x^2}}$

Integrando:

$\dst A=-2 \pi R \Big [\sqrt{R^2-x^2} \Big ]_{x_1}^{x_2}=-2 \pi R \left ( \sqrt{R^2-x_2^2}-\sqrt{R^2-x_1^2} \right )$

Finalmente:

$A=-2 \pi R \ (y_2-y_1)$

$$A=2 \pi R \ \big (y_1-y_2 \big )$$

Por lo tanto el área buscada es:

$A=2 \pi 5 (4-3)=10 \pi$

Saludos.

PD. Mientras escribía mi respuesta ha escrito teclado la suya, nos hemos "pisado", saludos teclado