Otras carreras Coordenadas esféricas en integrales triples

[CarlosG38]

Buen día quisiera pedirles por favor una ayuda con la solución de este ejercicio, no tengo muy claro el concepto y agradecería sus ayudas o apoyos en como puedo dar solución al mismo.

- Encuentre el volumen del sólido en el primer octante acotado por las gráficas de $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$, $y=x$, $y= \sqrt{3} x$, $z=0$. (Use coordenadas esféricas)

[Richard R Richard]

Hola veamos en cartesianas

$x$ va entre 0 y 2 en el primer cuadrante cuando $y$ y $z$ son nulas

$y$ esta acotada entre dos planos para todo $z$, $x\leq y\leq\sqrt 3x$

y z en el primer octante esta acotado por $0 \leq x \leq\sqrt{4-x^2-y^2}$

$V=\dst\int_0^2 dx\int_{x}^{\sqrt 3 x} dy\int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}} dz$

ahora hay que transformar esa región a coordenadas esféricas, (la forma es la mitad de un gajo de mandarina o naranja)

veamos el radio no esta trunco (nada lo corta) y es una región conexa, y varia de 0 a 2
$\phi$ solo va de 0 a $\pi /2$ en el primer octante

lo único que queda es averiguar

$\theta$ para los dos limites

en el caso de $y=x$ la tangente de $\theta$ es $1=\dfrac{dy}{dx}$ osea $\theta=\dfrac{\pi}{4}$

en el caso de $y=\sqrt 3x$ la tangente de $\theta$ es $\sqrt 3=\dfrac{dy}{dx}$ osea $\theta=\dfrac{\pi}{3}$

luego

$V=\dst\int_0^2\rho^2\,d\rho\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\phi\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\sin\theta \,d\theta$