1r ciclo Polinomio de Taylor para cálculo de límites.

[Acer]

Hola,

mi duda es la siguiente:

Sé que para calcular límites en cero de sen x se puede usar su desarrollo en serie de Taylor centrado en x=0. Mi pregunta es ¿cómo puedo saber el grado de polinomio que tengo que usar? (En la mayoría de los casos me vale con sen x = x, pero ya me ha fallado en un límite el hacer esa sustitución, y con el termino cúbico si cuadraba).

Gracias de antemano!

[alar]

Re: Polinomio de Taylor para cálculo de límites.

Normalmente el polinomio de Taylor se usa en limites del tipo $\lim_{x \to a} \frac{f(x)^n}{g(x)^m}$ con f,g funciones que tienen exponenciales, senos, cosenos,...
Lo que siempre me funcionaba a mi era hacer el polinomio de Taylor de f hasta un número s y el polinomio de g hasta un número r tales que al final $ns=mr$, así tanto arriba y abajo tendrás polinomios del mismo grado.
Taylor para límites se puede usar para otros casos, pero ahora no sé si hay algún caso donde se puede aplicar algo de forma directa.

[Acer]

Re: Polinomio de Taylor para cálculo de límites.

Muchas gracias por tu respuesta. Te adjunto el caso concreto donde fallé.Si sustituyes sen x = x, se te va a cero, mientras que si usas el polinomio de grado 3, resulta 1/3, que es el resultado correcto.

[Weip]

Re: Polinomio de Taylor para cálculo de límites.

Hola. Cuando usas Taylor para resolver límites el objetivo es aprovecharse de que $\dst\lim_{x \to a} \dst\frac{o(|x-a|^n)}{|x-a|^n}=0$. Entonces hay que fijarse entre qué va a quedar dividido $o(|x-a|^n)$ y adecuar la $n$ a ello. Por ejemplo en el caso de querer calcular $\dst\lim_{x \to 0}\dst\frac{x- \sin x}{x^3}$ usaremos el desarrollo del seno de orden 3 para poder olvidarnos de los términos de orden superior ya que $o(x^3)$ quedará dividido entre $x^3$. En el caso de tu ejemplo no es tan evidente qué sustitución hacer pero fíjate que si fallas una vez no puedes fallar una segunda vez puesto que en el primer intento ya sabes entre qué va a quedar dividido $o(|x|^n)$.

Si sustituyes sen x = x, se te va a cero

Cuidado, no sustituimos $\sin x=x$, si no que hacemos la sustitución $\sin x=x+o(x)$.

Por último decir que es mejor no usar imágenes si no las necesitas. El límite que has puesto lo puedes poner así [TEX]\dst \lim_{x\to 0} \left( \dst\frac{1}{\sin^2 x}-\dst\frac{1}{x^2} \right)[/TEX ] (aquí al final he puesto un espacio para que veas cómo se pone pero a la práctica va sin el espacio). Al final queda: $\dst \lim_{x\to 0} \left( \dst\frac{1}{\sin^2 x}-\dst\frac{1}{x^2} \right)$.

Espero haberte ayudado.

[Acer]

Re: Polinomio de Taylor para cálculo de límites.

Cuidado, no sustituimos $\sin x=x$, si no que hacemos la sustitución $\sin x=x+o(x)$.

Entiendo que o(x) es el error. Pero, en mi ejemplo, al sustituir el polinomio de grado 3, sin el error, me cumple bien el límite. ¿Puede entonces despreciarse el error según el caso?

Y ya que estamos, la calculadora Casio FX570 - ES me cumple el valor de los límites hasta que pongo valores muy grandes (o con decimales muy pequeños) que se va a 0. ¿Sabes por casualidad el motivo?

Disculpa por la imagen y gracias por tu ayuda.

[Weip]

Re: Polinomio de Taylor para cálculo de límites.

Entiendo que o(x) es el error. Pero, en mi ejemplo, al sustituir el polinomio de grado 3, sin el error, me cumple bien el límite. ¿Puede entonces despreciarse el error según el caso?

¿Puedes poner el procedimiento que has usado detalladamente? Imagino que el término del error te saldrá en un sumando a parte como numerador de una fracción del tipo que puse en mi anterior mensaje de forma que tiene a cero cuando x tiene a cero así que no te afecta. Pero para comprobar si es esto u otra cosa me gustaría ver tu razonamiento.

Y ya que estamos, la calculadora Casio FX570 - ES me cumple el valor de los límites hasta que pongo valores muy grandes (o con decimales muy pequeños) que se va a 0. ¿Sabes por casualidad el motivo?

Las calculadoras y en general los ordenadores trabajan con cierta precisión de forma que si los números que le entras son muy grandes o muy pequeños entonces los aproxima y eso suele ser causa de errores. La precisión ya depende de la calculadora que uses. Por ejemplo en mi calculadora $10^{-100}+1=1$ porque aproxima $10^{-100}$ a . Así que no es un problema de tu calculadora si no un problema con el cual hemos de vivir. Si en tu universidad tienes alguna asignatura de programación o de informática en general deberían hablarte de esto.

[Acer]

Re: Polinomio de Taylor para cálculo de límites.

Pues, sencillamente, sustituí sen x por ${x} - \frac{{x}^{3}}{3!}$. Posteriormente apliqué L´Hôpital hasta obtener 1/3.

[Alriga]

Re: Polinomio de Taylor para cálculo de límites.

Pues, sencillamente, sustituí sen x por {x} - \frac{{x}^{3}}{3!}. Posteriormente apliqué L´Hôpital hasta obtener 1/3.

Recuerda que para que se vean bien las expresiones en LaTeX se deben poner entre los corchetes [TEX] [/TEX] Así:

[TEX]{x} - \frac{{x}^{3}}{3!}[/TEX]

Y se verá así: ${x} - \frac{{x}^{3}}{3!}$

Saludos.

[Weip]

Re: Polinomio de Taylor para cálculo de límites.

Hola de nuevo.

Pues, sencillamente, sustituí sen x por ${x} - \frac{{x}^{3}}{3!}$. Posteriormente apliqué L´Hôpital hasta obtener 1/3.

Pero entonces no estás usando la expansión de Taylor completa para resolver límites sino que estás usando el método de infinitésimos equivalentes. Aunque en realidad no necesitas la regla de L'Hôpital, si simplificas un poco la indeterminación desaparece. Resolviendo la duda que da título al hilo, siento desilusionarte, pero es cuestión de prueba y error. Si el límite no te sale es que la aproximación no era suficientemente buena. Aún así con práctica y la suficiente experiencia ya irás viendo qué aproximaciones te llevan a buen puerto.