Otras carreras Dualidad de la Transformada de Fourier

[danielandresbru]

Hola, he estado buscando como demostrar la propiedad de la dualidad de la transformada de Fourier
$\mathcal{F}[F(-\omega)]=2\pi f(t)$ siendo $\mathcal{F}[f(t)]=F(\omega)$

pero no he encontrado como hacerlo.

Partiendo de $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega t} \bigg(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega t} f(t) dt \ \bigg) d\omega =2\pi f(t)$ llego a

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \cos(\omega t) \bigg(\int_{-\infty}^{\infty}\cos(\omega t) f(t) dt \bigg) d\omega$ $+ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin(\omega t) \bigg(\int_{-\infty}^{\infty}\sin(\omega t) f(t) dt \bigg) d\omega$ $+ j \Bigg[\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin(\omega t) \bigg(\int_{-\infty}^{\infty}\cos(\omega t) f(t) dt \bigg) d\omega$ $- \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \cos(\omega t) \bigg(\int_{-\infty}^{\infty}\sin(\omega t) f(t) dt \bigg) d\omega \Bigg]=2\pi f(t)$,

Pero no sé como demostrar que la parte imaginaria se nula y la real se hace $2\pi f(t)$.

Muchas gracias de antemano. : )

[alexpglez]

Re: Dualidad de la Transformada de Fouirier

Hola, lo que quieres demostrar creo que se hace a partir de la transformada de la delta de Dirac.

[danielandresbru]

Re: Dualidad de la Transformada de Fouirier

- - - Actualizado - - -

alexpglez como?, si no es mucha molestia

[alexpglez]

Re: Dualidad de la Transformada de Fouirier

Perdona, estoy con el móvil y no lo recordaba muy bien. Aunque si digo la verdad, creía que era así, sin embargo no lo es, ya que no es una demostración.
La idea de esto que decía (que no es una demostración):

$$\int_{-\infty}^{+\infty}dt f (t) \delta (t-t_0)=f (t_0)$$

$F (\delta (t-t_0))=\frac {1}{\sqrt {2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}dt\delta (t-t_0)e^(-iwt)=\frac {1}{\sqrt {2\pi}} e^{-iwt_0}$
La transformada inversa debe ser \delta:
$\delta (t-t_0)=\frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac {1}{\sqrt {2\pi}}e^{-iwt_0} e^{iwt} dw$

Esta expresión la puedes usar en tu demostración anterior, teniendo cuidado en que índices son mudos o no (y señalarlos). Pero es que el problema es que no es una demostración, ya que usamos esta propiedad de la transformada para demostrar la definición de la delta de Dirac.

Recuerdo un esbozo de demostración hecha tomando el límite de las series de Fourier. Si las series de Fourier sirven para tratar funciones que se hacen 0 en los extremos de una cuerda, la transformada es tomar el límite cuando los extremos de la cuerda llegan hasta el infinito. Como se ve esto parece un esbozo de demostración, que es una demostración pero no sé si muy formal.

Siento liar, a ver si alguien conoce alguna demostración de esas que no dan lugar a dudas.

Saludos

[Weip]

Re: Dualidad de la Transformada de Fouirier

Hola, en este enlace puedes encontrar la demostración que buscas. Espero haberte ayudado.

[alexpglez]

Re: Dualidad de la Transformada de Fourier

Weip, creo que danielandresbru pregunta la demostración de la inversa de la transformada de Fourier, es decir que F^-1[F [f (t)]=f (t)

[danielandresbru]

Re: Dualidad de la Transformada de Fouirier

Weip no entendí la parte en que sale que $\displaystyle \mathcal{F}^{-1} [F(\omega)]=\frac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$, no entiendo como se llega a eso, esa parte creo que es la principal pero en la demostración la omiten, puede que sea algo obvio pero es que no lo veo.

[Weip]

Re: Dualidad de la Transformada de Fouirier

Weip no entendí la parte en que sale que $\displaystyle \mathcal{F}^{-1} [F(\omega)]=\frac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$, no entiendo como se llega a eso, esa parte creo que es la principal pero en la demostración la omiten, puede que sea algo obvio pero es que no lo veo.

Es la transformada de Fourier inversa. ¿No te han hablado de ella en clase? En tal caso sería raro. Pero bueno en este enlace (página 3-4) te habla un poco de ella. De hecho lo que has escrito aquí es $\mathcal{F}^{-1} (\mathcal{F} f)$ (de forma menos compacta y con el $2 \pi$ al otro lado):

Partiendo de $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega t} \bigg(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega t} f(t) dt \ \bigg) d\omega =2\pi f(t)$