Duda con cálculo de derivadas

[inakigarber]

Buenas noches;

Planteo este problema de calculo que me tiene despistado;

Dada una función $\dfrac{m_o c \beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$, donde $\beta$ es una función dependiente del tiempo, el resto no. Calcular la derivada con respecto al tiempo de dicha función. La solución dada es $\dfrac{m_o c \dot\beta}{(1-\beta^2)^{(3/2)}}$.

Intento deducir la solución, pero no consigo hacerlo.

Para ello los pasos que doy son son los siguientes.

Partiendo de la derivada del cociente $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$u=m_o c \beta$, $u'=m_o c \dot\beta$
$v=\sqrt{1-\beta^2}$, $v'=-\dfrac{\beta}{v}=-\dfrac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$* Este es un paso del que no estoy seguro que sea correcto.
A partir de aquí simplificando me sale;
$m_o c \left[\dfrac{\dot \beta-\dot\beta \beta+\beta^2}{(1-\beta^2)^{(3/2)}}\right]$

[Richard R Richard]

Hola Iñaki te falta aplicar la regla de la cadena en

$v=\sqrt{1-\beta^2}$

$v'=\dfrac{\partial v}{\partial \beta}\dfrac{\partial \beta}{\partial t}=-\dfrac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\cdot \dot\beta$

Así

$f' =\dfrac{\partial}{\partial t}\dfrac{m_o c \beta}{\sqrt{1-\beta^2}}=m_oc\dfrac{\dot \beta \sqrt{1-\beta^2}-\beta \left(-\dfrac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\cdot \dot \beta\right) }{(\sqrt{1-\beta^2})^2}$

$f'=m_oc\dot\beta\dfrac{\dfrac{(\sqrt{1-\beta^2})^2+\beta^2}{\sqrt{1-\beta^2}} }{(\sqrt{1-\beta^2})^2}$

$f'=m_oc\dot\beta\dfrac{1\cancel{-\beta^2}+\cancel{\beta^2}}{(1-\beta^2)^{\frac32}}$

$f'=\dfrac{m_oc\dot\beta}{(1-\beta^2)^{\frac32}}$ cqd




Saludos

[inakigarber]

Muchas gracias por tú detallada información. Al calcular la derivada del denominador estaba derivando $dv/d\beta$ y estaba olvidando que $d\beta/dt=\dot \beta$, por lo que $d\beta=\dot \beta dt$. Haciendo esa sustitución habría llegado al resultado correcto.