1r ciclo Demostración Th. Bolzano

[The Higgs Particle]

Hola, me he puesto a ver la demostración del teorema de Bolzano y hay varias cosas que no entiendo.

"Supongamos que $f(a)< 0$ y que $f(b)>0$
Definimos el conjunto $A$ de la siguiente manera:
$A= \left\{x\in[a,b] | f(x) <0\right\}$"

Pero si $f(b)>0$, ¿cómo es posible que $b\in A$, cuando una de las condiciones del conjunto $A$ es que las funciones de sus elementos sean negativas?

"Aplicamos a este conjunto el teorema del supremo:
$A \neq \emptyset$, pues $a \in A$
$A$ está acotado superiomente por $b \to A$ tiene supremo"

Aquí ningún problema.

"Sea $c$ el supremo de $A$. Veamos que $c \in [a,b]$:
$a \leqslant c$ por ser $c$ el supremo de $A$ y $a \in A$
$c \leqslant b$ por ser $c$ la menor cota superior"

No entiendo que diga que $c \leqslant b$; si $b$ es el máximo absoluto de un conjunto acotado superiormente, entonces también es el supremo, ¿no? Es decir, ¿por qué no es $b=c$?

El resto de la demostración creo que sí la entiendo

[angel relativamente]

Re: Demostración Th. Bolzano

Te estás liando. El intervalo $[a,b]$ no está contenido en $A$ y en efecto $b \notin A$. Simplemente te está cogiendo los valores de x en el intervalo $[a,b]$ que verifiquen $f(x) <0$. Mirándo la gráfica, serán los trozos que estén por debajo del eje x justo en ese intervalo. Observa que el supremo de $A$ no es lo mismo que el supremo de $[a,b]$ tal como parece que entiendes.
Saludos,

[Weip]

Re: Demostración Th. Bolzano

Hola. Antes de contestar me gustaría decir que cuando tengas dudas sobre una demostración (o ejercicios en general) pongas todo el razonamiento entero o un link a él. Si solo nos muestras una parte es posible que nos perdamos algo. En este caso es igual, al menos yo te he entendido, pero de cara al futuro tenlo en cuenta.

"Supongamos que $f(a)< 0$ y que $f(b)>0$
Definimos el conjunto $A$ de la siguiente manera:
$A= \left\{x\in[a,b] | f(x) <0\right\}$"

Pero si $f(b)>0$, ¿cómo es posible que $b\in A$, cuando una de las condiciones del conjunto $A$ es que las funciones de sus elementos sean negativas?

Tal como dices $b \notin A$. Tu pregunta me extraña un poco porque el fragmento que citas no afirma que $b \in A$. Por si acaso: el hecho de que $b$ sea cota superior de $A$ no implica que $b$ esté en $A$.

"Sea $c$ el supremo de $A$. Veamos que $c \in [a,b]$:
$a \leqslant c$ por ser $c$ el supremo de $A$ y $a \in A$
$c \leqslant b$ por ser $c$ la menor cota superior"

No entiendo que diga que $c \leqslant b$; si $b$ es el máximo absoluto de un conjunto acotado superiormente, entonces también es el supremo, ¿no? Es decir, ¿por qué no es $b=c$?

El supremo es el mínimo de las cotas superiores. Es decir, tal como dice el texto, o bien $c$ es menor que $b$ o bien es igual a $b$. A lo mejor con un ejemplo numérico lo ves mejor. Si tienes el conjunto $[0,1]$ entonces $1, 2, 3, \pi$, etc son cotas superiores, pero el supremo es $1$. Fíjate que $1$ es menor o igual a cualquier cota superior. Si tuviéramos $b=1$ entonces se daría la igualdad $b=c$ pero si $b$ fuera $2$ tendríamos una desigualdad.

Espero haberte aclarado un poco más el panorama. ¡Saludos!

PD: Me solapé con Ángel. Creo que él te ha entendido mejor que yo.

[The Higgs Particle]

Re: Demostración Th. Bolzano

Muchas gracias a ambos. Gracias a vosotros ya he conseguido entender la demostración

Hola. Antes de contestar me gustaría decir que cuando tengas dudas sobre una demostración (o ejercicios en general) pongas todo el razonamiento entero o un link a él. Si solo nos muestras una parte es posible que nos perdamos algo. En este caso es igual, al menos yo te he entendido, pero de cara al futuro tenlo en cuenta

Agradezco mucho tu consejo. En el libro enuncia el teorema y a continuación pone lo que yo he puesto ahí (hasta las comas! ), pero me he comido el final. En éste, demuestra, por la reducción al absurdo, que $f(c) = 0$:

Si suponemos que $f(c) < 0$, siendo $f(x)$ una función continua, por el teorema de la conservación del signo tenemos que $\exists E(c,r) | \forall x \in E(c,r) \to f(x) <0$.
Esto implica que, siendo $x_0 \in E^+(c,r)$, nos sale $f(x_0) <0$, por lo que $x_0 \in A$, y como $x_0 > c$, nos saldría que $c \neq \sup(A)$.

Para demostrar que no puede ser $f(x) > 0$ utiliza un procedimiento similar.
Concluye diciendo que si $f(c) \geqslant 0$ y $f(c) \leqslant 0 \to f(c) = 0$