Secundaria Ecuación diferencial

[Visitante]

Hola,
Tengo que resolver la siguiente ecuación diferencial:
$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t }=mg-c{v}^{2 }$
Sé resolver ecuaciones diferenciales del tipo $\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d}t }=ay$
La cual es muy sencilla pero no sé como resolver la anterior. ¿Alguna pista?

Pd: Le estoy empezando a coger el gustillo a las ecuaciones diferenciales, como si fuese un pasatiempo. ¿Conocen algún pdf donde se explique cómo resolver ecuaciones diferenciales desde un nivel básico?

Atentamente,
Malevolex

[saturno]

Re: Ecuación diferencial

Me imagino que habrá varias formas de hacerla. Yo siempre empezaba con la solución homogenea, sin la constante, y seguía con la particular justo después.

[Alriga]

Re: Ecuación diferencial

$\dfrac{dv}{dt}+\dfrac c m v^2=g$

Es una Ecuación diferencial ordinaria de Riccati con :

p=0

$q=\dfrac c m$

f=g=9.81 m/s^2

El enlace de la Wiki explica como resolverla, siempre que se conozca al menos una solución particular.

¿Conocen algún pdf donde se explique cómo resolver ecuaciones diferenciales desde un nivel básico?

Puedes empezar con lo que explica la Wiki: Ecuación diferencial ordinaria

Saludos.

[Visitante]

Re: Ecuación diferencial

Y ¿Conocen algún pdf donde se explique cómo resolver ecuaciones diferenciales desde un nivel básico?

[Alriga]

Re: Ecuación diferencial

Y ¿Conocen algún pdf donde se explique cómo resolver ecuaciones diferenciales desde un nivel básico?

Pon en Google METODOS CLASICOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Saludos.

[Take It Easy]

Re: Ecuación diferencial

Creo que también puedes resolverla separando variables e integrando los dos miembros, tal como haces con dy/dt = ay. Eso sí, una de las integrales será de cierta complejidad.
Saludos

[Alriga]

Re: Ecuación diferencial

... Creo que también puedes resolverla separando variables e integrando los dos miembros, tal como haces con dy/dt = ay ...

¡Tienes razón! Take it Easy, vi tan claro que era de Riccati que no me fijé en que también se pueden separar variables

Malevolex, la ecuación diferencial se resuelve así en variables separadas:

$\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac c m v^2$

$\dfrac{dv}{g-\dfrac{c \ v^2}{m}}=dt$

$\dst t=\int \dfrac{dv}{g-\dfrac{c \ v^2}{m}}$

Esta integral es sencilla de resolver:

$\dst t=\dfrac 1 g \int \dfrac{dv}{1-\dfrac{c \ v^2}{g \ m}}$

Haciendo el cambio de variable típico:

$\dfrac{c}{g \ m} \ v^2 = u^2$

$\sqrt{\dfrac {c}{g \ m}} \ dv = du$

Se obtiene

$\dst t=\dfrac 1 g \sqrt{\dfrac {g \ m}{c}} \int \dfrac{du}{1-u^2}$

Esta integral es inmediata, recuerda que la resolvimos aquí: http://forum.lawebdefisica.com/threa...071#post168071

$t + K = \sqrt{\dfrac {m}{g \ c}} \ argtanh \ u$

Ahora sólo tienes que deshacer el cambio de variable y despejar $v$ en forma de $v=v(t)$ . Sale si no me equivoco:

$v(t)=\sqrt{\dfrac{g \ m}{c}} \ \tanh \left [ \sqrt{\dfrac{g \ c}{m}} \ (t + K)\right ]$

Una cosa Take it Easy, como eres nuevo en La web de Física, (bienvenido), no sé si has visto que en la web hay varias páginas de ejemplos de utilización de LaTeX, yo aprendí ahí sin tener ni idea hace menos de un año y me resultó más fácil de lo que esperaba:

Cómo introducir ecuaciones en los mensajes

La web de Física - LaTeX

Página de prueba y ejemplos LaTeX

Por otro lado, si haces “doble click” en cualquier fórmula del Foro (por ejemplo las que yo acabo de poner en este hilo), aparece el texto de la fórmula en LaTeX, márcalo con el ratón, haz “copiar” y a continuación “pegar como texto sin formato” entre medio de los corchetes [TEX] “pegar como texto sin formato” [/TEX] y ya tienes una fórmula en LaTeX. Anímate, ya verás que es sencillo

Saludos.

[sater]

Re: Ecuación diferencial

Busca
"MÉTODOS CLÁSICOS
DE RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS"
de Juan Luis Varona.

Es gratis, si no recuerdo mal.

[Cipriano]

Re: Ecuación diferencial

Este es el enlace del manual que te han recomendado. Su efectividad es máxima ya que plantea la solución de prácticamente todos los casos conocidos resolubles. Aunque su aspecto no es el mejor y trata solo de los métodos de resolución sin entrar en más consideraciones, te aseguro que es muy bueno, te lo recomiendo.

El manual debería ser posible encontrarlo mediante el Google: METODOS CLASICOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS