1r ciclo Demostración por inducción

[The Higgs Particle]

Demostrar por inducción que la proposición $P_n$:

$\boxed{1+r+r^2+...+r^n = \dst \frac{1-r^{n+1}}{1-r}}$

$r \neq 1$ es cierta.


1) Primero pruebo que es cierta para un valor concreto, $n=0$. Así:

$P_1 \to 1 = \dst \frac{1-r^1}{1-r } = 1$

Es decir, $P_1$ es cierta.


2) Ahora voy a probar que, para cualquier comienzo ($P_1$), el siguiente es cierto $(P_{n+1})$:

$\left[ 1+r+r^2+...+r^n \right]+r^{n+1} = \dst \frac{1-r^{n+2}}{1-r}$

Puede observarse cómo lo que se encuentra entre corchetes corresponde a $P_n$. Por lo tanto, suponiendo que $P_n$ es cierto, tenemos:

$\dst \left[ \frac{1-r^{n+1}}{1-r} \right] + r^{n+1} = \dst \frac{1-r^{n+2}}{1-r} \to \dst \frac{1-r^{n+1}+r^{n+1}-r^{n+2}}{1-r}$

Llegando así a:

$\dst \frac{1-r^{n+2}}{1-r} = \dst \frac{1-r^{n+2}}{1-r}$

Es decir, $P_{n+1}$ es cierta


3) Por ello, y mediante el principio de inducción, hemos demostrado que $P_n$ es cierta.



¿Es así?

[Weip]

Re: Demostración por inducción

Está bien, solo que un poco mal explicado. Te digo como lo escribiría yo, no sé si tu profesor es estricto o qué convenciones sigue, así que yo voy tirando y tu ya me dices.

2) Ahora voy a probar que, para cualquier comienzo ($P_1$), el siguiente es cierto $(P_{n+1})$:

Entiendo qué quieres decir pero lo de "para cualquier comienzo $P_1$" es confuso. Además el siguiente sería $P_2$ y no $P_{n+1}$. Lo que se suele escribir es algo así como "suponemos cierta la propiedad para $n=k$ y demostramos la propiedad para el caso $n=k+1$". Decir que también es aceptable no escribir la $k$ y escribir que suponemos cierto $P_n$ entendiendo que no nos referimos a la propiedad que queremos demostrar sino a la hipótesis de inducción. Aún así igual a tu profesor no le gusta, esto ya no lo sé, así que si quieres evitar confusiones preguntale o si no usa la $k$ tal como he hecho yo en el entrecomillado.

Puede observarse cómo lo que se encuentra entre corchetes corresponde a $P_n$. Por lo tanto, suponiendo que $P_n$ es cierto, tenemos:

$\dst \left[ \frac{1-r^{n+1}}{1-r} \right] + r^{n+1} = \dst \frac{1-r^{n+2}}{1-r} \to \dst \frac{1-r^{n+1}+r^{n+1}-r^{n+2}}{1-r}$

Llegando así a:

$\dst \frac{1-r^{n+2}}{1-r} = \dst \frac{1-r^{n+2}}{1-r}$

Al principio haces bien de indicar donde usas la hipótesis de inducción. Hazlo siempre de forma clara porque el profesor lo querrá ver. Por otro lado, la parte calculística se puede malinterpretar. Parece que estés suponiendo cierto el caso $n+1$ y estés operando con él. La flecha también es mejor no ponerla, no se sabe muy bien que quieres decir. Si es una implicación, sobra. Y la última igualdad, de nuevo, parece que supongas el caso $n+1$. Yo diría esto de forma más clara:

$1+r+r^2+...+r^n+r^{n+1}=\dst\frac{1-r^{n+1}}{1-r}+r^{n+1}$$= \dst \frac{1-r^{n+1}+r^{n+1}-r^{n+2}}{1-r}=\dst \frac{1-r^{n+2}}{1-r}$

En la primera igualdad he aplicado la hipótesis de inducción. Nota que he puesto todo en términos de $n$ y no de $k$. Si quieres se puede reformular todo con la $k$ de la misma forma que te he dicho antes.

Y bueno esto es todo, espero haberte ayudado.

[angel relativamente]

Re: Demostración por inducción

Hola. En efecto con las aclaraciones de Weip y lo que has hecho estaría bien.
Por complementar algo offtopic, aunque en este ejercicio te pide "demuestra por inducción" y es lo que has de hacer, esta fórmula se puede demostrar de una manera mucho más sencilla. Probablemente la conoces, pero la dejo para si alguien no:
Si llamo $S=1+\cdots + r^n$ observa que $rS=r+\cdots + r^n + r^{n+1}$ y por tanto $rS-S=r^{n+1}-1$ de donde despejando S queda $S=\dfrac{r^{n+1}-1}{r-1}$. Esta forma de demostración, además de más corta y elegante, no parte de conocer a priori qué va a dar el resultado como hace la inducción. Además es tan corta que es fácil de memorizar para poder usar la fórmula en un examen, si no la recordases. Y ya te aviso, la usarás mucho. Sobre todo en el caso en el que $-1<r<1$ y $n=\infty$ (el caso de series).

Saludos,