Limite y continudad

[Fortuna]

Buenas tardes, propongo un ejercicio para 2024

Sea $f(x)=\sum_{n=0}^{n=\infty}\dfrac {x^{4n}}{(4n)!}$

Comprueba que es el desarrollo de taylor de la siguiente función

$g(x)=\dfrac{1}{4}(e^x +e^{-x}+2\cos(x))$

Calcule $\lim_{x\to0} g(x)$ y $f(0)$

¿Qué suposición adicional debe asumirse en la definición de $f(x)$ para que $f(x)=g(x) \forall x \in R$?

[Fortuna]

Solución
$0^0=0$
Feliz año

[Alriga]

$0^0=0$

Según mi matemático de referencia, el profesor argentino Gustavo Piñeiro:

$\boldsymbol{0^0=1}$

Lo explica en:

Cero elevado a la cero

Addenda a 0^0 = 1

Otra addenda a 0^0 = 1

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Primera parte)

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Segunda parte)

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Tercera ¿y última? parte)

Un teorema sobre 0^0

Un problemita muy matemático

^ (Parte 1)

^ (Parte 2 y definitivamente última)

Un comentario sobre "cero a la cero"

Productoria

También opina lo mismo Miguel Ángel Morales Medina, Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y autor del famoso blog "Gaussianos", dice:

...Muchos diríais: $0^0$ es indeterminación. Sí pero no. No, porque el caso que nos ocupa no es el de una función (sucesión) que tiende a 0 elevada a otra función (sucesión) que tiende también a 0. Es decir, no queremos calcular el límite de cualquier función que dé una indeterminación $0^0$, sino que queremos saber cuál es el valor del número $0^0$ (recalco esto porque es muy importante y suele llevar a errores: no es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número)...

...el valor más coherente matemáticamente hablando (y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario) es:

$0^0=1$

Fuente: ¿Cuánto vale cero elevado a cero? ¿Y cero factorial?

Finalmente el vídeo:

Saludos.

[Fortuna]

En el propio video que pones indica te lo explica.

[Fortuna]

Gracias por las demostraciones. En general definir $0^0=1$ es conveniente. Pero no siempre, no es el caso del factorial con el 0.

¿has echado un vistazo al problema? Has calculado $f(0)$ y $g(0)$ ?, los limites en $x=0$.

Si admitimos que en todas las circunstancias $0^0=1$ esta función, que sólo es aplicar una serie de taylor y la propia función en el punto exactamente 0, es exactamente 0, mientras que el límite es 1,

Se deduce

Si $0^0=1\Rightarrow 0=1$

Lo cual podría se incómodo puesto que se podría demostrar que el Papa y yo somos la misma persona.

[Fortuna]

Buenas, iba a responder a cada uno de los enlaces, pero se hace muy tedioso. En realidad con una sólo una demostración correcta de que en todos los casos posibles $0^0=1$ me hubiera bastado.

En "El topo Logico" veo algunas objeciones

En principio 0^0 no está definido de manera precisa. Es un caso singular.

Borja dijo...Admirado Gustavo,

...un comentario a 0^0=1

Pues bien, lo que tú demuestras no es otra cosa que el hecho de que estás dos funciones coinciden en la intersección de sus dominios, esto es, en N X N - {(0,0)}, pero desgraciadamente no lo hacen en el (0,0), por no estar en dicha intersección. Es decir, NO podemos decir
F(0,0)=0^0, por no estar en el dominio de F. Es decir, no podemos decir,que cero elevado a cero sea 1, sí podremos, sin problemas, decir que 0^0=1, si bien cualquier intento de extensión de ^ a F, resulta absurdo.

.

Vamos que no veo acuerdo entre verdaderos matemáticos de que aquello sea verdaderamente una demostración.

La entrada de "Otra addenda a 0^0 = 1" No puede considerarse matemático recurrir a la falacia de la autoridad, así que no debe ser una demostración sino otra cosa.


El resto de casos (no los he mirado todos, claro!) de "topo-logico" me parecen casos particulares donde definir $0^0=1$ es conveniente.

En el caso de Gausianos, sólo ha mostrado que definir $0^0=1$ es conveniente para que coincida el limite de $x^x$ con el valor $0^0$


Y el video de Eduardo Sáenz de Cabezón deja muy claro todo lo expresado anteriormente.

Todo esto me sorprendió cuando en Mapple pude escribir una expresión que indica $0=1$ usando expresiones previas deducidas a partir de ese sumatorio que, amablemente, Maple me indicó que era esa función g que digo, así que decidí buscar la fuente de ese error. Como me pareció cuanto menos curioso, lo puse en el foro como problema de año nuevo. Pondría una imagen, pero eso violaría las normas del foro al haber formulas dentro.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola Fortuna observa que $n$ es un número entero y $x$ es un número real.
En la sucesión $n$ no está tendiendo a nada es simplemente el exponente de un sumando del sumatorio, por tanto cuando n es cero todo número real que se eleve a cero su resultado es 1.

$g(0)=f(0)=1$

Recuerda que

$x^{0}=x^{(+z-z)}=x^{z}x^{-z}=\dfrac{x^{z}}{x^{z}}=1 \quad \forall x \in \mathbb R$

Saludos

[Fortuna]

Gracias, Richart por leer el problema. Creo que es lo más importante antes de tomar alguna acción .

Hola Fortuna observa que $n$ es un número entero y $x$ es un número real.

Gracias por recordarlo, esto es muy importante

En la sucesión $n$ no está tendiendo a nada es simplemente el exponente de un sumando del sumatorio, por tanto cuando n es cero todo número real que se eleve a cero su resultado es 1.

Correcto. Esa es la hipótesis subyacente

$g(0)=f(0)=1$

Si escribes es expresión en tu programa de algebra que da?

https://www.wolframalpha.com/input?i...to+inf&lang=es

Recuerda que

$x^{0}=x^{(+z-z)}=x^{z}x^{-z}=\dfrac{x^{z}}{x^{z}}=1 \quad \forall x \in \mathbb R$

Saludos

Efectivamente, $0^0=0^0$ es un buen comienzo para una buena demostración siempre que ese valor esté definido.

[Weip]

Hola a todos, dejadme hacer un comentario sobre el tema de $0^0=1$.

En el caso planteado en el enunciado tenemos una función $g(x)$ que es contínua en $x=0$ así que el límite pedido en el enunciado da $g(0)=1$. Por otro lado, la función $f(x)$ es una serie que no está definida en $x=0$. Fijaos que si en vez de una serie tuviéramos una suma finita entonces sería natural definir $0^0=1$, igual que cuando definimos qué es un polinomio, y entonces no habría mucho más que decir. Pero al ser $f(x)$ una serie es más prudente no definir a priori $0^0$ y ver qué pasa. Aún cuándo $f(x)$ no está definida en $x=0$, se puede provar que su resumación es justamente la función $g(x)$, que sí está definida en $x=0$. Por tanto podemos definir una tercera función, $h(x)$, de manera que $h(x)=f(x)$ si $x \neq 0$ y $h(x)=g(x)$ si $x=0$. Así pues, la función $f(x)$, cuyo dominio es $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$, se extiende a una función $h(x)$ cuyo dominio es $\mathbb{R}$ y que es contínua en $x=0$. Este procedimiento da a entender que $0^0=1$ era una buena definición para este problema.

Si lo quereis, es algo parecido a regularizar la serie. No porque divergiera, sino porque no estaba definida en un punto.

Dejadme decir que el procedimiento es el mismo que cuando tenemos una función con una discontinuidad evitable en un punto $x=a$. Este tipos de discontinuidades son falsas en el sentido que podemos definir una función $h(x)$ que simplemente sea $f(x)$ con el punto rellenado, y así obtener una funcion contínua. Realmente, decir que $f$ era discontínua en $x=a$ era un puro tecnicismo. Este caso es parecido, pero al haber una serie involucrada, siempre hay que ir con un poco más de atención.

$x^{0}=x^{(+z-z)}=x^{z}x^{-z}=\dfrac{x^{z}}{x^{z}}=1 \quad \forall x \in \mathbb R$

Hola Richard, solo un apunte: el procedimiento que has seguido justamente falla en $x=0$, dando una indeterminación $0/0$ si se intenta extender a este punto. Por tanto esa línea es válida para todo $x \in \mathbb{R}\setminus \{ 0 \}$.

[Richard R Richard]

Hola Richard, solo un apunte: el procedimiento que has seguido justamente falla en $x=0$, dando una indeterminación $0/0$ si se intenta extender a este punto. Por tanto esa línea es válida para todo $x \in \mathbb{R}\setminus \{ 0 \}$.

Hola Weip te entiendo que el denominador en cero trae el problema del infinito o bien de la indeterminación en un límite, cualquier técnica de resolución de la indeterminación resuelve en 1, a la vez entiendo que si no se acepta el uno como respuesta está diciendo que ese uno no puede ser el neutro multiplicativo , o quizá ya me hago lio, es decir

$a\cdot 1= a \quad\forall a \in\mathbb R \quad\to \quad \dfrac{a}{a}=1$


Si el cero cumple la parte izquierda porque no permitirle la derecha, tu me dirás que la parte derecha puede tener cualquier resultado distinto de 1 ya que

$0\cdot r=0 \quad\forall r \in\mathbb R \quad\to \quad \dfrac{0}{0}=???$

por ello es indeterminado pero para mi en este caso que nos ocupa los límites por derecha e izquierda tienden a 1 porque no suponer continuidad y dar valido el 1.

Gracias

[Richard R Richard]

Si escribes es expresión en tu programa de algebra que da?

https://www.wolframalpha.com/input?i...to+inf&lang=es

Allí $n$ debe tener en cuenta al cero allí arranca de 1

deberás escribirle

sum 0^(4*n)/(4n)!, n from 0 to inf

que por no tener versión paga no me da respuesta, pero tampoco dice que no la tiene.

Saludos

[Weip]

por ello es indeterminado pero para mi en este caso que nos ocupa los límites por derecha e izquierda tienden a 1 porque no suponer continuidad y dar valido el 1.

Sí, en el fondo estamos de acuerdo, está claro que la serie extiende a una función contínua en $x=0$.

Sobre el tema de Wolfram Alpha:

Si escribes es expresión en tu programa de algebra que da?

https://www.wolframalpha.com/input?i...to+inf&lang=es

que por no tener versión paga no me da respuesta, pero tampoco dice que no la tiene.

Quizás es más revelador preguntarle no por la serie numérica que resulta de evaluar $f(x)$ en $x=0$, sino preguntarle por la función $f(x)$ directamente para que haga la gráfica y calcule el radio de convergencia. Si se le pregunta la serie numérica el programa no tiene suficiente contexto como para dar respuestas, pero si el programa entiende que esto viene de una función, es interesante ver que da la gráfica de la función $h(x)$ que definí en mi anterior mensaje, no la gráfica de la serie $f(x)$. Es decir, hace la extensión contínua automáticamente.

Dejo el link: Gráfica de la serie en Wolfram Alpha

[Fortuna]

Buenos días. Por supuesto, estoy de acuerdo con lo que comenta Weip y que la explicación al resultado que me ofreció Mapple, era que en una caso sustituye $0^0=0$ en la serie pero luego evalúa $0^0=1$ en otros casos.

Me explico:

[inicio explicación: contexto]

restart;
> f:=x->sum((x)^(4*n)/(4*n)!,n=0..infinity);
> `f(x)`=f(x);
> Limit('f(x)',x=0)=limit(f(x),x=0);
> cat(`f(0)=`,f(0));

$f:=x\to \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(x)^{(4n)}}{(4n)!}$
$f(x)=\dfrac{1}{4}e^x+\dfrac{1}{4}e^{-x}+\dfrac{1}{2}\cos(x)$
$\displaystyle{\lim_{x \to 0} f(x) =1}$
$f(0)=0$

Dado que yo no he escrito $f(x)$ como una función sino como una serie y es mapple quien amablemente me indica que escribir esa serie es lo mismo que escribir la función, obtengo que $0=1$ (por favor, leer el contexto, no indicar que $0\ne1$

Al intentar dar la explicación llego a la conclusión de que mapple me dice $0^0=0$ en la serie (pero que en otros contextos indica que es 1)

Y luego, esta web es un poco diabólica al meter expresiones en latex (muy largo de explicar pero al final un debe tener mucho cuidado para no perder todo el contenido al volver a recuperar el foco con todo seleccionado) con resultado de perderse en la edición y deseando acabar ese infierno y olvididar lo que uno está escribiendo. A ello indicar que no podría poner la captura de pantalla sin violar las normas del foro. Como consecuencia, redacto el problema a revés.

[/fin historia: Contexto]

PD, Premio

Limit(`0^x`,x=0)=limit(0^(x),x=0);

$\displaystyle{\lim_{x \to 0}0^x=0}$

y además:

https://www.wolframalpha.com/input?i...3D0%29&lang=es

Saludos.

[Richard R Richard]

Volvamos al origen de tu consulta

Calcule $\lim_{x\to0} g(x)$

osea

limit(1/4(e^x +e^{-x}+2\cos(x)),x=0)

cuyo resultado lo ves en https://www.wolframalpha.com/input?i...3D0%29&lang=es

y $f(0)$

Que sentido tiene tomar limite en una variable discreta como propones aquí

Limit(`0^x`,x=0)=limit(0^(x),x=0);

alli $x$ debe ser continua pero en tu ejercicio $n$ es discreta , asi que lo que tienes que resolver es

Limit(`x^0`,x=0)=limit(x^(0),x=0);

que seguro te da 1 desde mi punto de vista, espero te sirva

Saludos

[Fortuna]

Volvamos al origen de tu consulta

A ver, no era exactamente una consulta que yo tuviera, era un ejercicio para el foro, pero sí, es una pregunta.

osea

limit(1/4(e^x +e^{-x}+2\cos(x)),x=0)

cuyo resultado lo ves en https://www.wolframalpha.com/input?i...3D0%29&lang=es

Correcto!

Que sentido tiene tomar limite en una variable discreta como propones aquí

Limit(`0^x`,x=0)=limit(0^(x),x=0);

alli $x$ debe ser continua pero en tu ejercicio $n$ es discreta

Si, $n$ es discreta, es muda. $f(x)$ se define como una serie. ¿No puedo saber cuanto es $f(0)$?, ¿tengo calcular el límite? f(0)=sumatorio de 0 elevando a cuatro ene dividido por cuatro ene factorial desde ene igual a cero a infinito. No sé que pinta ene si es muda. No es una variable.

, asi que lo que tienes que resolver es

Limit(`x^0`,x=0)=limit(x^(0),x=0);

que seguro te da 1 desde mi punto de vista, espero te sirva

Saludos

[/QUOTE]

Supongo que esto último es del último post, también como curiosidad muy relacionada. Pues pongo lo que puse en mapple y el resultado que da, como nota.
El resultado de lo que escribes es obvio.

Saludos.

[Richard R Richard]

Si, $n$ es discreta, es muda. $f(x)$ se define como una serie. ¿No puedo saber cuanto es $f(0)$?, ¿tengo calcular el límite? f(0)=sumatorio de 0 elevando a cuatro ene dividido por cuatro ene factorial desde ene igual a cero a infinito. No sé que pinta ene si es muda. No es una variable.

Si f(x) es una función de x , si puedes saber cuanto vale f(0) , hare mi intento.

definimos

$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{n\to\infty}\dfrac {x^{4n}}{(4n)!}=\dfrac {x^{4\cdot 0}}{(4\cdot 0)!}+\dfrac {x^{4\cdot 1}}{(4\cdot 1)!}+\dfrac {x^{4\cdot 2}}{(4\cdot 2)!}+....$

como el limite o el aporte de cada sumando tiende a cero cuando $n\to \infty$ para cualquier x la serie es convergente a un valor (aquí Weip me dirá ojo cuando x= cero!!! )

pero para mi la serie puede escribirse como

$f(0)=\sum\limits_{n=0}^{n\to\infty}\dfrac {0^{4n}}{(4\cdot 0)!}=\dfrac {0^{4\cdot 0}}{(4\cdot 0)!}+\dfrac {0^{4\cdot 1}}{(4\cdot 1)!}+\dfrac {0^{4\cdot 2}}{(4\cdot 2)!}+....$

$f(0)=\sum\limits_{n=0}^{n\to\infty}\dfrac {0^{4n}}{(4\cdot 0)!}=\dfrac {0^{0}}{0!}+0+0+....$

podemos entender que los sumandos posteriores al primero son despreciables frente al primero en las cercanías del cero

$f(0)\cong\dfrac {0^{0}}{0!}.$

si $0!= 1$ o la función $\Gamma$ tiende a 1 en el cero

podemos decir

$f(0)\cong0^{0}$

ahora que si no fuese continua la función podemos estudiar su limite por izquierda y derecha

$\lim\limits_{x\to0^-}f(x)\cong\lim\limits_{x\to0^-}x^{0}$
$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\cong\lim\limits_{x\to0^+}x^{0}$

pero esos límites tienden a 1 y si damos por continua la función en $x=0$ entonces $f(0)=1$

y allí habría una serie de supuestos que he hecho para que tanto f y g coincidan en $f(0)=g(0)$

Ya me dirán si me he liado, pero así lo entiendo, válido o no.